Cho tâm hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Hãy xác định tâm và bán kính mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp đó.

Giải

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên đáy là hình vuông cạnh a và SO là đường cao hình chóp

(O là tâm hình vuông ABCD)

Trong $∆$ vuông SOA ta có:

$$\begin{gathered} {\mathrm{SO}}^2 = {\mathrm{SA}}^2 - {\mathrm{OA}}^2 = {\mathrm{a}}^2 - {\left(\frac{\mathrm{a}\sqrt{2}}{2}\right)}^2 = \frac{{\mathrm{a}}^2}{2} \Rightarrow \mathrm{SO} =\frac{\mathrm{a}\sqrt{2}}{2} \\ \Rightarrow \mathrm{OA} = \mathrm{OB} = \mathrm{OC} = \mathrm{OD} = \mathrm{OS} = \frac{\mathrm{a}\sqrt{2}}{2} = \mathrm{r} \end{gathered}$$

Vậy mặt cầu đi qua 5 điểm S, A, B, C, D có tâm O là tâm của hình vuông ABCD và có bán kính $\mathrm{r} = \frac{\mathrm{a}\sqrt{2}}{2}$.