Chứng minh rằng nếu có một mặt cầu tiếp xúc với 6 cạnh của một hình tứ diện thì tổng độ dài của các cặp

cạnh đối diện của tứ diện bằng nhau.

Giải

Giả sử tứ diện ABCD có các cạnh AB, AC, AD, CB, CD, BD lần lượt tiếp xúc với mặt cầu tại M, N, P, Q, R, S.

Khi đó ta có: AM = AN = AP = a

                và BM = BQ = BS = b.

                    CQ = CN = CR = c

               và DP = DR = DS = d.

Như vậy: AB + CD = a + b + c + d;

AC + BD = a + c + b + d;

AD + BC = a + d + b + d;

Do đó các cặp cạnh đối diện của tứ diện thỏa mãn điều kiện của bài toán có tổng bằng nhau, nghĩa là:

AB + CD = AC + BD = AD + BC.