Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có AA' = a, AB = b, AD = c.

a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó.

b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên.

Giải

a) Gọi O là trung điểm của AC' thì O là điểm cách đều 8 điểm hình hộp.

Ta có $\mathrm{AC}\text{'} = \sqrt{{\mathrm{AC}}^2 + \mathrm{CC}{\text{'}}^2} = \sqrt{{\mathrm{AD}}^2 + {\mathrm{DC}}^2 + \mathrm{CC}{\text{'}}^2} = \sqrt{{\mathrm{a}}^2 + {\mathrm{b}}^2 + {\mathrm{c}}^2}$

Bán kính mặt cầu qua 8 đỉnh là:

$\mathrm{OA} = \frac{1}{2}\mathrm{AC}\text{'} = \frac{1}{2}\sqrt{{\mathrm{a}}^2 + {\mathrm{b}}^2 + {\mathrm{c}}^2 }$

b) Giao tuyến của (ABCD) với mặt cầu trên là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Vậy đường tròn

giao tuyến của (ABCD) với mặt cầu trên có tâm là trung điểm I của BD và có bán kính là:

$\mathrm{r}\text{'} = \frac{1}{2} \sqrt{{\mathrm{b}}^2 + {\mathrm{c}}^2}$ .