Hướng dẫn giải Bài 7 (Trang 49 SGK Toán Hình học 12)

Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A'B'C'D' có AA' = a, AB = b, AD = c. a) Hãy xác định tâm và bán kính của mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình hộp đó. b) Tính bán kính của đường tròn là giao tuyến của mặt phẳng (ABCD) với mặt cầu trên. Giải <img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/19022022/f30a4cca-7efa-4869-b69b-d450f2d1fe3e.PNG" /> a) Gọi O là trung điểm của AC' thì O là điểm cách đều 8 điểm hình hộp. Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>AC</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msqrt><msup><mi>AC</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>CC</mi><msup><mo>'</mo><mn>2</mn></msup></msqrt><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msqrt><msup><mi>AD</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><msup><mi>DC</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>CC</mi><msup><mo>'</mo><mn>2</mn></msup></msqrt><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><msqrt><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">b</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mspace linebreak="newline"/></math> Bán kính mặt cầu qua 8 đỉnh là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>OA</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>AC</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><msqrt><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">b</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">c</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo></msqrt></math> b) Giao tuyến của (ABCD) với mặt cầu trên là đường tròn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Vậy đường tròn giao tuyến của (ABCD) với mặt cầu trên có tâm là trung điểm I của BD và có bán kính là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">r</mi><mo>'</mo><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo> </mo><msqrt><msup><mi mathvariant="normal">b</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><msup><mi mathvariant="normal">c</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></math> .