Từ một điểm M nằm ngoài mặt cầu S(O ; r) ta kẻ hai đường thẳng cắt mặt cầu lần lượt tại A, B và C, D.

a) Chứng minh rằng MA.MB = MC.MD.

b) Gọi MO = d. Tính MA.MB theo r và d.

Giải

a) Hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M nên xác định mặt phẳng (AB, CD). Mặt phẳng (AB, CD) cắt

mặt cầu S(O; r) theo giao tuyến là đường tròn đi qua bốn điểm A, B, C, D.

Trong mặt phẳng (AB, CD) ta có

$\overrightarrow{\mathrm{MA}} \overrightarrow{\mathrm{MB}} = \overrightarrow{\mathrm{MC}} \overrightarrow{\mathrm{MD}} \Rightarrow \mathrm{MA}.\mathrm{MB} = \mathrm{MC}.\mathrm{MD}$

b) Mặt phẳng (OAB) cắt mặt cầu theo đường tròn lớn tâm O bán kính r. Trong mặt phẳng (AOB) này nếu

gọi MO = d, ta có MA.MB = ${\mathrm{d}}^2 - {\mathrm{r}}^2$, trong đó r là bán kính mặt cầu.