Lý thuyết Khái niệm về mặt tròn xoay

I. Sự tạo thành mặt tròn xoay Trong không gian cho mặt phẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>P</mi></mfenced></math> chứa đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math> và một đường C . Khi quay mặt phẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>P</mi></mfenced></math> quanh <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math> một góc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>360</mn><mo>°</mo></math>thì mỗi điểm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi></math> trên đường C  vạch ra một đường tròn có tâm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi></math> thuộc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math> và nằm trên mặt phẳng vuông góc với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math>. Như vậy khi quay mặt phẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>P</mi></mfenced></math> quanh đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math> thì đường C sẽ tao nên một hình được goi là mặt tròn xoay. Đường C được gọi là đường sinh của mặt tròn xoay đó. Đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math> được gọi là trục của mặt tròn xoay. <img src="https://img.loigiaihay.com/picture/2022/1007/download-1.png" width="172" height="267" /> II. Mặt nón tròn xoay 1. Định nghĩa Trong mặt phẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>P</mi></mfenced></math> cho hai đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math> cắt nhau tại điểm O và tạo thành góc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>β</mi></math> với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>0</mn><mo>°</mo><mo><</mo><mi>β</mi><mo><</mo><mn>90</mn><mo>°</mo></math>. Khi quay mặt phẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>P</mi></mfenced></math> xung quanh <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math> thì đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi></math> sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt nón tròn xoay đỉnh O  (gọi tắt là mặt nón) Đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math> là trục, đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi></math> goi là đường sinh và góc 2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>β</mi></math> goi là góc ở đỉnh của mặt nón đó. <img src="https://img.loigiaihay.com/picture/2022/1007/download-2.png" width="164" height="278" /> 2. Hình nón tròn xoay và khối nón tròn xoay a) Cho tam giác OIM vuông tại I, quay xung quanh cạnh OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành một hình, gọi là hình nón tròn xoay (hay hình nón) <img src="https://img.loigiaihay.com/picture/2022/1007/download-3.png" /> Đỉnh: Điểm O Mặt đáy: Hình tròn tâm I, bán kính IM Chiều cao của nón: Độ dài đoạn OI Đường sinh: Đoạn OM Mặt xung quanh của hình nón: Phần mặt tròn xoay sinh ra bởi các điểm trên cạnh OM khi quay quanh trục OI. b) Khối nón (tròn xoay): là phần không gian giới hạn bởi môt hình nón tròn xoay kể cả hình nón đó. 3. Diện tích xung quanh của hình nón tròn xoay <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mo largeop="true">S</mo><mrow><mi>x</mi><mi>q</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>πrl</mi></math> Trong đó: r: bán kính đáy của hình nón, l: đường sinh của hình nón 4. Thể tích khối nón tròn xoay <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><msup><mi>πr</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">h</mi></math> Trong đó r là bán kính đáy, h là chiều cao. III. Mặt trụ tròn xoay 1. Định nghĩa Trong mặt phẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>P</mi></mfenced></math> cho hai đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math> và l song song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r. Khi quay mặt phẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>P</mi></mfenced></math> xung quanh <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math> thì đường thẳng l sinh ra một mặt tròn xoay được gọi là mặt tru tròn xoay (mặt trụ). Đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo></math> gọi là trục, đường thẳng l là đường sinh và r là bán kính của mặt trụ đó.  <img src="https://img.loigiaihay.com/picture/2022/1007/download-4.png" /> 2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay a) Khi quay hình chữ nhật ABCD quanh đường thẳng chứa môt cạnh, chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB tạo thành một hình, goi là hình trụ tròn xoay (hình trụ) Hai đáy: hai hình tròn vạch ra bởi AD và BC. Bán kính của trụ: AD và BC Đường sinh: CD Mặt xung quanh: Phần mặt tròn xoay sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay Chiều cao của trụ: độ dài đoạn thẳng AB <img src="https://img.loigiaihay.com/picture/2022/1007/download-5.png" /> b) Khối trụ tròn xoay: phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ đó. 3. Diện tích xung quanh của hình trụ tròn xoay <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mo largeop="true">S</mo><mrow><mi>x</mi><mi>q</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>πrl</mi></math> 4. Thể tích khối trụ tròn xoay <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi><mo>=</mo><mi>B</mi><mi>h</mi></math> Trong đó: V: thể tích khối trụ, B: diện tích đáy, H: chiều cao.

Xem lời giải bài tập khác cùng bài

Hướng dẫn giải Hoạt động 1 (Trang 31 SGK Toán Hình học 12)

Xem lời giải

Hướng dẫn giải Hoạt động 2 (Trang 35 SGK Toán Hình học 12)

Xem lời giải

Hướng dẫn giải Hoạt động 3 (Trang 38 SGK Toán Hình học 12)

Xem lời giải

Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 39 SGK Toán Hình học 12)

Xem lời giải

Hướng dẫn giải Bài 2 (Trang 39 SGK Toán Hình học 12)

Xem lời giải

Hướng dẫn giải Bài 3 (Trang 39 SGK Toán Hình học 12)