Hướng dẫn giải Bài 3 (Trang 39 SGK Toán Hình học 12)

Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho b) Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó. Giải <img class="wscnph" style="display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/27022022/z3217173116048_ebf7887f0e1e5fee36062787aa75feec-XmKZP1.jpg" /> a) Giả sử SA = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="script">l</mi></math> là độ dài đường sinh, SH = h là chiều cao hình nón Trong tam giác vuông SOA ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mi>S</mi><msup><mi>A</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>S</mi><msup><mi>O</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>O</mi><msup><mi>A</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mi>h</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mn>20</mn><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mn>25</mn><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>1025</mn><mspace linebreak="newline"/><mo>⇒</mo><mi>S</mi><mi>A</mi><mo>=</mo><msqrt><mn>1025</mn></msqrt></math> Diện tích xung quanh hình nón là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>S</mi><mrow><mi>x</mi><mi>q</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>πr</mi><mi mathvariant="script">l</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">π</mi><mo>.</mo><mn>25</mn><mo>.</mo><msqrt><mn>1025</mn></msqrt><mo>≈</mo><mn>2514</mn><mo>,</mo><mn>5</mn><mo> </mo><mo>(</mo><msup><mi>cm</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo></math> b) Thể tích khối nón là:  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mo>.</mo><msup><mi mathvariant="normal">r</mi><mn>2</mn></msup><mo>.</mo><mi mathvariant="normal">h</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mo>.</mo><mi mathvariant="normal">π</mi><mo>.</mo><msup><mn>25</mn><mn>2</mn></msup><mo>.</mo><mn>20</mn><mo>≈</mo><mn>13083</mn><mo>,</mo><mn>3</mn><mo> </mo><mo>(</mo><msup><mi>cm</mi><mn>3</mn></msup><mo>)</mo></math> c) Giả sử thiết diện SAB đi qua đỉnh S cắt đường tròn đáy tại A và B. Gọi I là trung điểm của dây cung AB. Từ tâm O của đáy vẽ OH vuông góc với SI. Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="{" close=""><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>⊥</mo><mi>O</mi><mi>I</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>⊥</mo><mi>S</mi><mi>O</mi></mtd></mtr></mtable><mo>⇒</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>⊥</mo><mo>(</mo><mi>S</mi><mi>O</mi><mi>I</mi><mo>)</mo><mo>⇒</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>⊥</mo><mi>O</mi><mi>H</mi></mrow></mfenced></math> Từ đó<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="{" close=""><mrow><mtable columnalign="left"><mtr><mtd><mi>O</mi><mi>H</mi><mo>⊥</mo><mi>A</mi><mi>B</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>O</mi><mi>H</mi><mo>⊥</mo><mi>S</mi><mi>I</mi></mtd></mtr></mtable><mo>⇒</mo><mi>O</mi><mi>H</mi><mo>⊥</mo><mo>(</mo><mi>S</mi><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mi>n</mi><mi>ê</mi><mi>n</mi><mo> </mo><mi>O</mi><mi>H</mi><mo>=</mo><mn>12</mn><mi>c</mi><mi>m</mi></mrow></mfenced><mspace linebreak="newline"/></math> Trong tam giác vuông SOI ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>O</mi><msup><mi>H</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>O</mi><msup><mi>I</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>O</mi><msup><mi>S</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>O</mi><msup><mi>I</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>O</mi><msup><mi>H</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><mrow><mi>O</mi><msup><mi>S</mi><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>12</mn><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><msup><mn>20</mn><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>256</mn><mn>57600</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>225</mn></mfrac><mo>⇒</mo><mi>O</mi><mi>I</mi><mo>=</mo><mn>15</mn><mi>c</mi><mi>m</mi></math> Xét tam giác vuông OAI ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>A</mi><msup><mi>I</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>O</mi><msup><mi>A</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mi>O</mi><msup><mi>I</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mn>25</mn><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><msup><mn>15</mn><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mn>20</mn><mn>2</mn></msup></math> Vậy AI = 20cm Ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mi>I</mi><mo>.</mo><mi>O</mi><mi>H</mi><mo>=</mo><mi>S</mi><mi>O</mi><mo>.</mo><mi>O</mi><mi>I</mi><mo>⇒</mo><mi>S</mi><mi>I</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>O</mi><mo>.</mo><mi>O</mi><mi>I</mi></mrow><mrow><mi>O</mi><mi>H</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>20</mn><mo>.</mo><mn>15</mn></mrow><mn>12</mn></mfrac><mo>=</mo><mn>25</mn><mo> </mo><mo>(</mo><mi>c</mi><mi>m</mi><mo>)</mo></math> Vậy diện tích thiết diện SAB là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>S</mi><mrow><mi>S</mi><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mi>S</mi><mi>I</mi><mo>.</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mn>25</mn><mo>.</mo><mn>20</mn><mo>=</mo><mn>500</mn><mo> </mo><mo>(</mo><mi>c</mi><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo></math>