Cho hình nón tròn xoay có đường cao h = 20cm, bán kính đáy r = 25cm

a) Tính diện tích xung quanh của hình nón đã cho

b) Tính thể tích của khối nón được tạo thành bởi hình nón đó

c) Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết

diện là 12cm. Tính diện tích thiết diện đó.

Giải

a) Giả sử SA = $\mathcal{l}$ là độ dài đường sinh, SH = h là chiều cao hình nón

Trong tam giác vuông SOA ta có:

$$\begin{gathered} S{A}^2=S{O}^2+O{A}^2=h^2+r^2={20}^2+{25}^2=1025 \\ \Rightarrow SA=\sqrt{1025} \end{gathered}$$

Diện tích xung quanh hình nón là:

$S_{xq}=\mathrm{\pi r}\mathcal{l}=\mathrm{\pi }.25.\sqrt{1025}\approx 2514,5 \left({\mathrm{cm}}^2\right)$

b) Thể tích khối nón là: 

$V=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }.{\mathrm{r}}^2.\mathrm{h}=\frac{1}{3}.\mathrm{\pi }.{25}^2.20\approx 13083,3 \left({\mathrm{cm}}^3\right)$

c) Giả sử thiết diện SAB đi qua đỉnh S cắt đường tròn đáy tại A và B. Gọi I là trung điểm của dây cung AB.

Từ tâm O của đáy vẽ OH vuông góc với SI.

Ta có $\left\{\begin{array}{l}AB\perp OI\\ AB\perp SO\end{array}\Rightarrow AB\perp \left(SOI\right)\Rightarrow AB\perp OH\right.$

Từ đó$\left\{\begin{array}{l}OH\perp AB\\ OH\perp SI\end{array}\Rightarrow OH\perp \left(SAB\right) nên OH=12cm\right.$

Trong tam giác vuông SOI ta có: $\frac{1}{O{H}^2}=\frac{1}{O{I}^2}+\frac{1}{O{S}^2}$

$\Rightarrow \frac{1}{O{I}^2}=\frac{1}{O{H}^2}-\frac{1}{O{S}^2}=\frac{1}{{12}^2}-\frac{1}{{20}^2}=\frac{256}{57600}=\frac{1}{225}\Rightarrow OI=15cm$

Xét tam giác vuông OAI ta có $A{I}^2=O{A}^2-O{I}^2={25}^2-{15}^2={20}^2$

Vậy AI = 20cm

Ta có: $SI.OH=SO.OI\Rightarrow SI=\frac{SO.OI}{OH}=\frac{20.15}{12}=25 \left(cm\right)$

Vậy diện tích thiết diện SAB là: $S_{SAB}=\frac{1}{2}.SI.AB=25.20=500 \left(c{m}^2\right)$