Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được 1 hình tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng $a\sqrt{2}$

a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng

b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình

nón một góc $60°$. Tính diện tích tam giác SBC

Giải

a) Giả sử cắt hình nón bởi măt phẳng đi qua trục SO của hình nón đó là tam giác

vuông cân SAB $(SA\perp SB và AB=a\sqrt{2})$. Ta suy ra hình nón có bán kính đáy

r=$\frac{a\sqrt{2}}{2}$ và đường sinh $\mathcal{l}=a$

Do đó: $S_{xq}=\mathrm{\pi r}\mathcal{l}=\mathrm{\pi }.\frac{\mathrm{a}\sqrt{2}}{2}.\mathrm{a}=\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\pi a}}^2}{2}$

Diện tích đáy của hình nón là $S={\mathrm{\pi r}}^2=\frac{{\mathrm{\pi a}}^2}{2}$

Gọi V là thể tích khối nón, ta có:

$V=\frac{1}{3}{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}=\frac{1}{3}\mathrm{\pi }\frac{{\mathrm{a}}^2}{2}.\frac{\mathrm{a}\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}{\mathrm{\pi a}}^3}{12}$

b) Kẻ $OH\perp BC$ thì $SH\perp BC$, theo giả thiết ta có $\widehat{SHO}=60°$

$\Rightarrow SH=\frac{SO}{\sin 60°}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\Rightarrow BH=\sqrt{S{B}^2-S{H}^2}=\sqrt{a^2-\frac{2a^2}{3}}=\frac{a}{\sqrt{3}}\Rightarrow BC=\frac{2a}{\sqrt{3}}$

Diện tích $∆SBC$ là: $S_{SBC}=\frac{1}{2}SH.BC=\frac{1}{2}.\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{a^2\sqrt{2}}{3}$