Hướng dẫn giải Bài 9 (Trang 40 SGK Toán Hình học 12)

Cắt hình nón đỉnh S bởi mặt phẳng đi qua trục ta được 1 hình tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><msqrt><mn>2</mn></msqrt></math> a) Tính diện tích xung quanh, diện tích đáy và thể tích của khối nón tương ứng b) Cho dây cung BC của đường tròn đáy hình nón sao cho mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng chứa đáy hình nón một góc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>60</mn><mo>°</mo></math>. Tính diện tích tam giác SBC Giải <img class="wscnph" style="float: left;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/28022022/z3217280484699_5e70c8fe9394d5a74f825875a0d28068-aIoUiy.jpg" /> a) Giả sử cắt hình nón bởi măt phẳng đi qua trục SO của hình nón đó là tam giác vuông cân SAB <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>(</mo><mi>S</mi><mi>A</mi><mo>⊥</mo><mi>S</mi><mi>B</mi><mo> </mo><mi>v</mi><mi>à</mi><mo> </mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mi>a</mi><msqrt><mn>2</mn></msqrt><mo>)</mo></math>. Ta suy ra hình nón có bán kính đáy r=<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></math> và đường sinh <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="script">l</mi><mo>=</mo><mi>a</mi></math> Do đó: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>S</mi><mrow><mi>x</mi><mi>q</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mi>πr</mi><mi mathvariant="script">l</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">π</mi><mo>.</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mi mathvariant="normal">a</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msqrt><mn>2</mn></msqrt><msup><mi>πa</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mn>2</mn></mfrac></math> Diện tích đáy của hình nón là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mo>=</mo><msup><mi>πr</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mfrac><msup><mi>πa</mi><mn>2</mn></msup><mn>2</mn></mfrac></math> Gọi V là thể tích khối nón, ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><msup><mi>πr</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">h</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mfrac><msup><mi mathvariant="normal">a</mi><mn>2</mn></msup><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mi mathvariant="normal">a</mi><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msqrt><mn>2</mn></msqrt><msup><mi>πa</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mn>12</mn></mfrac></math> b) Kẻ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi><mi>H</mi><mo>⊥</mo><mi>B</mi><mi>C</mi></math> thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mi>H</mi><mo>⊥</mo><mi>B</mi><mi>C</mi></math>, theo giả thiết ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>S</mi><mi>H</mi><mi>O</mi></mrow><mo>^</mo></mover><mo>=</mo><mn>60</mn><mo>°</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>S</mi><mi>H</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>S</mi><mi>O</mi></mrow><mrow><mi>sin</mi><mn>60</mn><mo>°</mo></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mfrac><mo>⇒</mo><mi>B</mi><mi>H</mi><mo>=</mo><msqrt><mi>S</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mi>S</mi><msup><mi>H</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mo>=</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mn>3</mn></mfrac></msqrt><mo>=</mo><mfrac><mi>a</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mfrac><mo>⇒</mo><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mfrac></math> Diện tích <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo><mi>S</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></math> là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>S</mi><mrow><mi>S</mi><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mi>S</mi><mi>H</mi><mo>.</mo><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mi>a</mi><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mfrac><mo>.</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mi>a</mi></mrow><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><msqrt><mn>2</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac></math>