Một hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O; r) và (O'; r). Khoảng cách giữa hai đáy là OO'=$r\sqrt{3}$. Một hình nón

có đỉnh là O' và có đáy là (O; r)

a) Gọi $S_1$ là diện tích xung quanh của hình trụ và $S_2$ là diện tích xung quanh của hình nón. Hãy tính $\frac{S_1}{S_2}$?

b) Mặt xung quanh của hình nón chia khối trụ thành 2 phần, hãy tính tỉ số thể tích của hai phần đó

Giải

Ta có $\mathcal{l}=h=r\sqrt{3}$

Diện tích xung quanh hình trụ là:

$S_1=2\mathrm{\pi r}\mathcal{l}=2\mathrm{\pi r}.\mathrm{r}\sqrt{3}=2\sqrt{3}{\mathrm{\pi r}}^2$

O'M là một đường sinh của hình nón, ta có:

$\mathcal{l}\text{'}=O\text{'}M=\sqrt{OO{\text{'}}^2+O{M}^2}=\sqrt{3r^2+r^2}=2r$

Diện tích xung quanh hình nón là:

$S_2=\mathrm{\pi r}\mathcal{l}\text{'}=\mathrm{\pi }.\mathrm{r}.2\mathrm{r}=2{\mathrm{\pi r}}^2$

Vậy $\frac{S_1}{S_2}=\frac{2\sqrt{3}{\mathrm{\pi r}}^2}{2{\mathrm{\pi r}}^2}=\sqrt{3}$

b) Khối trụ và khối nón có cùng đáy và cùng chiều cao nên thể tích khối trụ bằng ba lần thể tích khối nón.

Gọi $V_1$ là thể tích khối nón và $V_2$ là thể tích phần còn lại của khối trụ, ta suy ra: $\frac{V_1}{V_2}=\frac{1}{2}$