Hướng dẫn giải Bài 10 (Trang 40 SGK Toán Hình học 12)

Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r. Một hình vuông ABCD có 2 cạnh AB, CD lần lượt là các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC, AD không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích của hình vuông đó và tính côsin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy <h3 style="text-align: center;">Giải</h3> <img class="wscnph" style="float: left;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/28022022/z3217284354056_1732156faeae49e84d8b4678cd1e0d8b-8rMROz.jpg" /> Gọi C', D' lần lượt là hình chiếu của C và D trên mặt phẳng đáy chứa dây cung AB thì ABC'D' là hình chữ nhật. Do đó, AC'=2r Từ các tam giác vuông ABC' và CBC' ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>C</mi><msup><mo>'</mo><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>A</mi><msup><mi>C</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mi>A</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>4</mn><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mi>A</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mspace linebreak="newline"/><mi>B</mi><mi>C</mi><msup><mo>'</mo><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>B</mi><msup><mi>C</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mi>C</mi><msup><mi>C</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>A</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo> </mo><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></math> So sánh (1) và (2) ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>4</mn><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mi>A</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mi>A</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇒</mo><mi>A</mi><msup><mi>B</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo>⇒</mo><mi>A</mi><mi>B</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>r</mi><msqrt><mn>10</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></math> Vậy diện tích hình vuông ABCD là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>S</mi><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mrow><mi>r</mi><msqrt><mn>10</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>5</mn><mi>r</mi><mrow><mn>2</mn></mrow></mrow><mrow><mn>2</mn></mrow></mfrac></math> Ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>C</mi><msup><mo>'</mo><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>⇒</mo><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mi>r</mi><msqrt><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></msqrt><mo>=</mo><mi>r</mi><msqrt><mfrac><mn>6</mn><mn>4</mn></mfrac></msqrt><mo>=</mo><mi>r</mi><mfrac><msqrt><mn>6</mn></msqrt><mn>2</mn></mfrac></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>S</mi><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>'</mo><mi>D</mi><mo>'</mo></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>r</mi><msqrt><mn>10</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac><mi>x</mi><mfrac><msqrt><mn>6</mn></msqrt><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mfrac><msqrt><mn>60</mn></msqrt><mn>4</mn></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><msqrt><mn>15</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></math> Gọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math> là góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông ABCD và mặt phẳng đáy Ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>cos</mi><mi>α</mi><mo>=</mo><mfrac><msub><mi>S</mi><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>'</mo><mi>D</mi><mo>'</mo></mrow></msub><msub><mi>S</mi><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi><mi>C</mi><mi>D</mi></mrow></msub></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>B</mi><mi>C</mi><mo>'</mo></mrow><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>r</mi><msqrt><mn>6</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>÷</mo><mfrac><mrow><mi>r</mi><msqrt><mn>10</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><msqrt><mfrac><mn>3</mn><mn>5</mn></mfrac></msqrt></math>