Cho hình trụ có bán kính r và có chiều cao cũng bằng r. Một hình vuông ABCD có 2 cạnh AB, CD lần lượt là

các dây cung của hai đường tròn đáy, còn cạnh BC, AD không phải là đường sinh của hình trụ. Tính diện tích

của hình vuông đó và tính côsin của góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông và mặt phẳng đáy

Giải

Gọi C', D' lần lượt là hình chiếu của C và D trên mặt phẳng đáy chứa dây cung AB

thì ABC'D' là hình chữ nhật. Do đó, AC'=2r

Từ các tam giác vuông ABC' và CBC' ta có

$$\begin{gathered} BC{\text{'}}^2=A{C}^2-A{B}^2=4r^2-A{B}^2\hspace{0.17em}\left(1\right) \\ BC{\text{'}}^2=B{C}^2-C{C}^2=A{B}^2-r^2 \left(2\right) \end{gathered}$$

So sánh (1) và (2) ta có $4r^2-A{B}^2=A{B}^2-r^2$

$\Rightarrow A{B}^2=\frac{5}{2}{r}^2\Rightarrow AB=\frac{r\sqrt{10}}{2}$

Vậy diện tích hình vuông ABCD là: $S_{ABCD}={\left(\frac{r\sqrt{10}}{2}\right)}^2=\frac{5r}{}$²2

Ta có: $BC{\text{'}}^2=\frac{5}{2}{r}^2-r^2=\frac{3r^2}{2}\Rightarrow BC\text{'}=r\sqrt{\frac{3}{2}}=r\sqrt{\frac{6}{4}}=r\frac{\sqrt{6}}{2}$

$S_{ABC\text{'}D\text{'}}=\frac{r\sqrt{10}}{2}x\frac{\sqrt{6}}{2}=r^2\frac{\sqrt{60}}{4}=\frac{r^2\sqrt{15}}{2}$

Gọi $\alpha$ là góc giữa mặt phẳng chứa hình vuông ABCD và mặt phẳng đáy

Ta có: $\cos \alpha =\frac{S_{ABC\text{'}D\text{'}}}{S_{ABCD}}=\frac{BC\text{'}}{BC}=\frac{BC\text{'}}{AB}=\frac{r\sqrt{6}}{2}÷\frac{r\sqrt{10}}{2}=\sqrt{\frac{3}{5}}$