Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = $r\sqrt{3}$

a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ

b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho

c) Cho 2 điểm A, B lần lượt nằm trên 2 đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của

hình trụ bằng $30°$. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ

Giải

a) Ta có $h=\mathcal{l}=r\sqrt{3}$

Diện tích xung quanh hình trụ là:

$S_{xq}=2\mathrm{\pi r}\mathcal{l}=2\mathrm{\pi r}.\mathrm{r}\sqrt{3}=2\sqrt{3}{\mathrm{\pi r}}^2$

Diện tích toàn phần hình trụ là:

$S_{tp}=S_{xq}+2S_{đáy}=2\sqrt{3}{\mathrm{\pi r}}^2+2{\mathrm{\pi r}}^2=2(\sqrt{3}+1){\mathrm{\pi r}}^2$

b) Thể tích khối trụ là: 

$V={\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}={\mathrm{\pi r}}^2.\mathrm{r}\sqrt{3}=\sqrt{3}{\mathrm{\pi r}}^3$

c) Ta có OA=O'B=r

Gọi AA' là đường sinh của hình trụ, ta có O'A'=r và AA'=$r\sqrt{3}$

Góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ chính là góc $\widehat{BAA\text{'}}=30°$

Vì OO' song song với mặt phẳng (ABA') nên khoảng cách giữa OO' và AB bằng khoảng cách giữ OO'

và mặt phẳng (ABA') Gọi H là trung điểm của đoạn BA' ta có O'H chính là khoảng cách cần tìm

(vì $O\text{'}H\perp (AA\text{'}B)$). Tam giác BA'A vuông tại A' nên ta có:

$BA\text{'}=AA\text{'}\tan 30°=r\sqrt{3}.\frac{1}{\sqrt{3}}=r$

Vậy $∆BA\text{'}O\text{'}$ là tam giác đều cạnh r nên $O\text{'}H=\frac{r\sqrt{3}}{2}$