Hướng dẫn giải Bài 7 (Trang 39 SGK Toán Hình học 12)

Một hình trụ có bán kính r và chiều cao h = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>r</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></math> a) Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ b) Tính thể tích của khối trụ tạo nên bởi hình trụ đã cho c) Cho 2 điểm A, B lần lượt nằm trên 2 đường tròn đáy sao cho góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ bằng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>30</mn><mo>°</mo></math>. Tính khoảng cách giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ Giải <img class="wscnph" style="float: left;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/28022022/z3217256328641_51dc069227d0ab63e085b1a15331d29b-LgByzF.jpg" /> a) Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>h</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="script">l</mi><mo>=</mo><mi>r</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></math> Diện tích xung quanh hình trụ là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>S</mi><mrow><mi>x</mi><mi>q</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>πr</mi><mi mathvariant="script">l</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>πr</mi><mo>.</mo><mi mathvariant="normal">r</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>=</mo><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt><msup><mi>πr</mi><mn>2</mn></msup></math> Diện tích toàn phần hình trụ là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>S</mi><mrow><mi>t</mi><mi>p</mi></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>S</mi><mrow><mi>x</mi><mi>q</mi></mrow></msub><mo>+</mo><mn>2</mn><msub><mi>S</mi><mrow><mi>đ</mi><mi>á</mi><mi>y</mi></mrow></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt><msup><mi>πr</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>2</mn><msup><mi>πr</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>2</mn><mo>(</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><msup><mi>πr</mi><mn>2</mn></msup></math>   b) Thể tích khối trụ là:  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>V</mi><mo>=</mo><msup><mi>πr</mi><mn>2</mn></msup><mi mathvariant="normal">h</mi><mo>=</mo><msup><mi>πr</mi><mn>2</mn></msup><mo>.</mo><mi mathvariant="normal">r</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>=</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><msup><mi>πr</mi><mn>3</mn></msup></math> c) Ta có OA=O'B=r Gọi AA' là đường sinh của hình trụ, ta có O'A'=r và AA'=<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>r</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></math> Góc giữa đường thẳng AB và trục của hình trụ chính là góc <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>B</mi><mi>A</mi><mi>A</mi><mo>'</mo></mrow><mo>^</mo></mover><mo>=</mo><mn>30</mn><mo>°</mo></math> Vì OO' song song với mặt phẳng (ABA') nên khoảng cách giữa OO' và AB bằng khoảng cách giữ OO' và mặt phẳng (ABA') Gọi H là trung điểm của đoạn BA' ta có O'H chính là khoảng cách cần tìm (vì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi><mo>'</mo><mi>H</mi><mo>⊥</mo><mo>(</mo><mi>A</mi><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></math>). Tam giác BA'A vuông tại A' nên ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>B</mi><mi>A</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mi>A</mi><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>tan</mi><mn>30</mn><mo>°</mo><mo>=</mo><mi>r</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>.</mo><mfrac><mn>1</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mfrac><mo>=</mo><mi>r</mi></math> Vậy <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo><mi>B</mi><mi>A</mi><mo>'</mo><mi>O</mi><mo>'</mo></math> là tam giác đều cạnh r nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>O</mi><mo>'</mo><mi>H</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>r</mi><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>2</mn></mfrac></math>