7. Cho điểm $A\left(-1; 2; -3\right)$, vecto $\overrightarrow{a}=\left(6; -2; -3\right)$ và đường thẳng $d$ có phương trình $\left\{\begin{array}{c}x=1+3t\\ y=-1+2t\\ z=3-5t\end{array}\right.$

a) Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa điểm $A$ và vuông góc với $\overrightarrow{a}$.

b) Tìm giao điểm của $d$ và $\left(\alpha \right)$.

c) Viết phương trình đường thẳng $∆$ đi qua điểm $A$ vuông góc với $\overrightarrow{a}$ và cắt đường thẳng $d$

Giải:

a) Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua $A\left(-1; 2; -3\right)$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}=\left(6; -2; -3\right)=0$

nên có phương trình là: $6\left(x+1\right)-2\left(y-2\right)-3\left(z+3\right)=0\iff 6x-2y+3z+1=0 \left(1\right)$

b) Thay $x=1+3t, y=-1+2t, z=3-5t$ vào phương trình $\left(1\right)$ ta được

$6\left(1+3t\right)-2\left(-1+2t\right)-3\left(3-5t\right)+1=0\iff t=0$

Khi đó $x=1, y=-1, z=3$. Vậy $d$ cắt $\left(\alpha \right)$ tại điểm $M\left(1; -1; 3\right)$.

c) Đường thẳng $∆$ đi qua $A$ vuông góc với giá của $\overrightarrow{a}$ và cắt đường thẳng $d$ chính là đường thẳng $AM$. $∆$ có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{AM}=\left(2; -3; 6\right)$.

Phương trình tham số của $∆$ là: $\left\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=-1-3t\\ z=3+6t\end{array}\right.$