10. Cho điểm $M\left(2; 1; 0\right)$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right): x+3y-z-27=0$. Tìm tọa độ điểm $M\text{'}$ đối xứng với $M$ qua $\left(\alpha \right)$

Giải:

Gọi $H$ là hình chiếu của $M$ lên mp$\left(\alpha \right)$.

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua $M$ và vuông góc với $\left(\alpha \right)$ $d$ có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{a_d}=\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left(1; 3; -1\right)$

Phương trình tham số của $d$ là: $\left\{\begin{array}{c}x=2+t\\ y=1+3t\\ z=-t\end{array}\right.$

Thay $x=2+t, y=1+3t, z=-t$ vào phương trình mp$\left(\alpha \right)$, ta được:

$\left(2+t\right)+3\left(1+3t\right)-\left(-t\right)-27=0\iff 11t-22=0\iff t=2$

Khi đó $x=4; y=7; z=-2.$

Vậy $H\left(4; 7; -2\right)$

Vì $M\text{'}$ đối xứng với $M$ qua $\left(\alpha \right)$ nên: 

$\overrightarrow{MM\text{'}}=2\overrightarrow{MH}\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_{M\text{'}}-2=2\left(4-2\right)\\ y_{M\text{'}}-1=2\left(7-1\right)\\ z_{M\text{'}}=2\left(-2\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_{M\text{'}}=6\\ y_{M\text{'}}=13\\ z_{M\text{'}}=-4\end{array}\right.$

Vậy điểm đối xứng của điểm $M$ qua mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là $M\text{'}\left(6; 13; -4\right)$.