12. Tìm tọa độ điểm $A\text{'}$ đối xứng với điểm $A\left(1; -2; -5\right)$ qua đường thẳng $∆$ có phương trình:

$\left\{\begin{array}{c}x=1+2t\\ y=-1-t\\ z=2t\end{array}\right.$

Giải:

Đường thẳng $∆$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(2; -1; 2\right)$

Gọi $\left(\alpha \right)$ là mặt phẳng qua $A$ và vuông góc với $∆$ thì có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a}=\left(2; -1; 2\right)$ do đó phương trình mp$\left(\alpha \right)$ là:

$$\begin{gathered} 2\left(x-1\right)-\left(y+2\right)+2\left(z+5\right)=0 \\ \iff 2x-y+2z+6=0 \left(1\right) \end{gathered}$$

Hình chiếu $H$ của $A$ lên $∆$ là giao điểm của $∆$ và $\left(\alpha \right)$. Thay $x=1+2t, y=-1-t, z=2t$ vào $\left(1\right)$ ta được:

$2\left(1+2t\right)-\left(-1-t\right)+4t+6=0\iff 9t+9=0\iff t=-1$

Khi đó $x=-1; y=0; z=-2.$

Vậy $H\left(-1; 0; -2\right).$

Vì $A^{\text{'}}$ là điểm đối xứng của $A$ qua $∆$ nên:

$\overrightarrow{AA\text{'}}=2\overrightarrow{AH}\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_{A\text{'}}-1=2.\left(-1-1\right)\\ y_{A\text{'}}+2=2.\left(0+2\right)\\ z_{A\text{'}}+5=2.\left(-2+5\right)\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{c}{x}_{A\text{'}}=-3\\ x_{A\text{'}}=2\\ x_{A\text{'}}=1\end{array}\right.$

Vậy điểm đối xứng với $A$ qua đường thẳng $∆$ là $A\text{'}\left(-3; 2; 1\right).$