3. Cho bốn điểm $A\left(-2; 6; 3\right), B\left(1; 0; 6\right), C\left(0; 2; -1\right), D\left(1; 4; 0\right)$.

a) Viết phương trình mặt phẳng $\left(BCD\right)$. Suy ra $ABCD$ là một tứ diện.

b) Tính chiều cao $AH$ của tứ diện $ABCD$.

c) Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa $AB$ và song song với $CD$.

Giải:

a) Ta có $\overrightarrow{BC}=\left(-1; 2; -7\right), \overrightarrow{BD}=\left(0; 4; -6\right)$

Mp$\left(BCD\right)$ có vectơ pháp tuyến: $\overrightarrow{n}=\left[\begin{array}{cc}\overrightarrow{BC},& \overrightarrow{BD}\end{array}\right]=\left(16; -6; -4\right)$

Mp$\left(BCD\right)$ đi qua $B\left(1; 0; 6\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(16; -6; -4\right)$nên có phương trình là:

$16\left(x-1\right)-6y-4\left(z-6\right)=0\iff 8x-3y-2z+4=0$

Vì $A\notin \left(BCD\right)$ nên $ABCD$ là một tứ diện.

b) Chiều cao $AH$ của tứ diện là khoảng cách từ $A$ đến mp$\left(BCD\right)$.

Ta có: $AH=d\left(A, \left(BCD\right)\right)=\frac{\left|8\left(-2\right)-3.6-2.3+4\right|}{\sqrt{8^2+{\left(-3\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{36}{\sqrt{77}}$

c) Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(3; -6; 3\right), \overrightarrow{CD}=\left(1; 2; 1\right)$

Mp$\left(\alpha \right)$ chứa $\overrightarrow{AB}$ và song song với $CD$ có vectơ pháp tuyến

$\overrightarrow{n}=\left[\begin{array}{cc}\overrightarrow{AB},& \overrightarrow{CD}\end{array}\right]=\left(-12; 0; 12\right)$

Phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là:

$-12\left(x-1\right)+0\left(y-0\right)+12\left(z-6\right)=0\iff x-z+5=0.$