5. Cho mặt cầu $\left(S\right)$ có phương trình: ${\left(x-3\right)}^2+{\left(y+2\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=100$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có phương trình $2x-2y-z+9=0$. Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ cắt mặt cầu $\left(S\right)$ theo một đường tròn $\left(\mathcal{C}\right)$. Hãy xác định tọa độ tâm và tính bán kính của đường tròn $\left(\mathcal{C}\right)$.

Giải:

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm là $I\left(3; -2; 1\right)$ và có bán kính $R=10$.

$d\left(I, \left(\alpha \right)\right)=\frac{\left|2.3+2.2-1+9\right|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}=6$

Ta có: $d\left(I, \left(\alpha \right)\right)=6<10$, suy ra mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ cắt $\left(S\right)$ theo một đường tròn $\left(\mathcal{C}\right).$

Tâm J của $\left(\mathcal{C}\right)$ chính là hình chiếu vuông góc của $I$ trên mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

Đường thẳng $∆$ đi qua $I$ và vuông góc với $\left(\alpha \right)$ nên $∆$ có phương trình là:

$\left\{\begin{array}{c}x=3+2t\\ y=-2-2t\\ z=1-t\end{array}\right.$

$∆$cắt $\left(\alpha \right)$ tại $J\left(3+2t; -2-2t; 1-t\right).$ Vì $J\in \left(\alpha \right)$ nên ta có:

$2\left(3+2t\right)-2\left(-2-2t\right)-\left(1-t\right)+9=0\iff 9t+18=0\iff t=-2.$

Vậy ta được $J\left(-1; 2; 3\right)$.

Bán kính $r$ của $\left(\mathcal{C}\right)$ được tính theo công thức:

$r=\sqrt{R^2-d^2\left(I, \left(\alpha \right)\right)}=\sqrt{100-36}=8.$

Vậy đường tròn $\left(\mathcal{C}\right)$ có tâm $J\left(-1; 2; 3\right)$ và bán kính $r=8$