2. Cho mặt cầu (S) có đường kính là AB biết rằng $A\left(6; 2; -5\right), B\left(-4; 0; 7\right)$

a) Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính $r$ của mặt cầu (S).

b) Lập phương trình của mặt cầu (S).

c) Lập phương trình của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm A.

Giải:

a) Tâm $I$ của mặt cầu là trung điểm của $AB$. Ta có $I\left(1; 1; 1\right)$, bán kính $r=IA=\sqrt{62}$.

b) Phương trình của mặt cầu $\left(S\right)$ là ${\left(x-1\right)}^2+{\left(y-1\right)}^2+{\left(z-1\right)}^2=62$

c) Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu $\left(S\right)$ tại $A$, suy ra $\left(\alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{IA}=\left(5; 1; -6\right)$

Vậy phương trình của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là:

$5\left(x-6\right)+1\left(y-2\right)-6\left(z+5\right)=0 \iff 5x+y-6z-62=0$