8. Viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ tiếp xúc với mặt cầu

$\left(S\right): x^2+y^2+z^2-10x+2y+26z+170=0$

và song song với hai đường thẳng $d:\hspace{0.17em}\left\{\begin{array}{c}x=-5+2t\\ y=1-3t\\ z=-13+2t\end{array} ; d\text{'}: \left\{\begin{array}{c}x=-7+3t\\ y=-1-2t\\ z=8\end{array}\right.\right.$

Giải:

Đường thẳng $d$ và $d\text{'}$ lần lượt có vecto chỉ là $\overrightarrow{a}=\left(2; -3; 2\right)$ và $\overrightarrow{a\text{'}}=\left(3; -2; 0\right)$.

Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ song song với $d$ và $d\text{'}$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[\begin{array}{cc}\overrightarrow{a},& \overrightarrow{a\text{'}}\end{array}\right]=\left(4; 6; 5\right)$

Vậy $\left(\alpha \right)$ có dạng: $4x+6y+5z+D=0$

Mặt cầu $\left(S\right)$ có tâm $I\left(5; -1; -13\right)$ và bán kính

$R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\sqrt{25+1+169-170}=5$

Ta có: $\left(\alpha \right)$ tiếp xúc với $\left(S\right)$

 $$\begin{gathered} \iff d\left(I, \left(\alpha \right)\right)=R \\ \iff \frac{\left|4.\left(5\right)+6.\left(-1\right)+5.\left(-13\right)+D\right|}{\sqrt{16+36+25}}=5 \\ \iff \left|D-51\right|=5\sqrt{77}\iff D=51\pm 5\sqrt{77} \end{gathered}$$

Vậy ta có hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ thỏa mãn đề bài. Phương trình tổng quát của $\left(\alpha \right)$ là $4x+6y+5z+51\pm 5\sqrt{77}=0.$