1. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(-2; 1; -1).

a) Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) Tìm góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

c) Tính độ dài đường cao của hình chóp A.BCD.

Giải:

a) Đường thẳng AB đi qua $A\left(1; 0; 0\right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}$=$\left(-1; 0; 0\right)$.

Đường thẳng $CD$ đi qua $C\left(0; 0; 1\right)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{CD}$ = $\left(-2; 1; -2\right)$

Ta có $\overrightarrow{AC}=\left(-1; 0; 1\right)$

$\overrightarrow{n}=\left[\begin{array}{cc}\overrightarrow{AB};& \overrightarrow{CD}\end{array}\right]=\left(-2; -2; 1\right) \Rightarrow \overrightarrow{n}.\overrightarrow{AC}=\left(-2\right)\left(-1\right)+\left(-2\right).0+1.1=3\ne 0.$

Suy ra $AB$ và $CD$ chéo nhau nên $A, B, C, D$ là bốn đỉnh của một tứ diện.

Cách khác: Ta có $\overrightarrow{BC}=\left(0; -1; 1\right)$ và $\overrightarrow{BD}=\left(-2; 0; -1\right)$

Mp$\left(BCD\right)$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[\begin{array}{cc}\overrightarrow{BC};& \overrightarrow{BD}\end{array}\right]=\left(1; -2; -2\right)$

Phương trình mp$\left(BCD\right)$ là:

$x-2\left(y-1\right)-2z=0\iff x-2y-2z+2=0 \left(1\right)$

Tọa độ điểm $A$ không thỏa $\left(1\right)$ nên $A\notin mp\left(BCD\right)$

Vậy $A, B, C, D$ là bốn đỉnh của một tứ diện.

b) Ta có: $$\begin{gathered} \overrightarrow{AB}=\left(-1; 1; 0\right); \overrightarrow{CD}=\left(-2; 1; -2\right) \\ \cos \left(AB, CD\right)=\frac{\left|\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}\right|}{AB.CD}=\frac{\left|2+1+0\right|}{\sqrt{2}.\sqrt{9}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \end{gathered}$$

Vậy $\left(AB, CD\right)=45°$.

c) Phương trình $mp\left(BCD\right)$ là: $x-2y-2z+2=0$

Độ dài đường cao của hình chóp $A.BCD$ là khoảng cách từ $A$ đến $mp\left(BCD\right)$, ta có $AH=d\left(A, \left(BCD\right)\right)=\frac{\left|1+2\right|}{\sqrt{1+4+4}}=1.$