6. Cho mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có phương trình $3x+5y-z-2=0$ và đường thẳng $d$ có phương trình: $\left\{\begin{array}{c}x=12+4t\\ y=9+3t\\ z=1+t\end{array}\right.$

a) Tìm giao điểm $M$ của đường thẳng $d$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

b) Viết phương trình mặt phẳng $\left(\beta \right)$ chứa điểm $M$ và vuông góc với đường thẳng $d$

Giải:

a) Thay $x=12+4t, y=9+3t, z=1+t$ vào phương trình mp$\left(\alpha \right)$ ta được

$3\left(12+4t\right)+5\left(9+3t\right)-\left(1+t\right)-2=0\iff 26t+78=0\iff t=-3$

Khi đó $x=y=0, z=-2.$

Vậy $d$ cắt $\left(\alpha \right)$ tại điểm $M\left(0; 0; -2\right)$.

b) Đường thẳng $d$ có vecto chỉ phương là $\overrightarrow{a_d}=\left(4; 3; 1\right)$

Mp$\left(\beta \right)$ vuông góc với $d$ thì $\left(\alpha \right)$ có vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\overrightarrow{a_d}=\left(4; 3; 1\right)$ nên có phương trình là $4\left(x-0\right)+3\left(y-0\right)+1\left(z+2\right)=0\iff 4x+3y+z+2=0.$