Bài 7 (Trang 90 SGK Toán Giải Tích 12):

Giải các phương trình:

a) $3^{x+4}+3.5^{x+3}=5^{x+4}+3^{x+3}$;

b) ${25}^x-6.5^x+5=0$;

c) $4.9^x+{12}^x-3.{16}^x=0$;

d) ${\log }_7(x-1).{\log }_{7}x={\log }_{7}x$;

e) ${\log }_{3}x+{\log }_{\sqrt{3}}x+{\log }_{\frac{1}{3}}x=6$;

g) $\log \frac{x+8}{x-1}=\log x$

Hướng dẫn giải:

a)

$$\begin{gathered} 3^{x+4} + 3. 5^{x+3} = 5^{x+4} + 3. 3^{x+3} \iff 81.3^x + 375.3^3 = 625.5^x + 27.3 \\ \iff 81.3^x - 27.3^x = 625.5^x - 375.5^x \iff 54.3^x = 250.5^x \\ \iff {\left(\frac{3}{5}\right)}^x = {\left(\frac{5}{3}\right)}^3 \iff x = -3. \end{gathered}$$

Vậy S = {-3}

b)

Đặt t = 5^x (t > 0 ), ta có phương trình: ${\mathrm{t}}^2 - 6\mathrm{t} + 5 = 0 \iff [\begin{array}{l}\mathrm{t} = 1\\ \mathrm{t} = 5\end{array} \iff [\begin{array}{l}{5}^{\mathrm{x}} = 1\\ 5^{\mathrm{x}} = 5\end{array} \iff [\begin{array}{l}\mathrm{x} = 0\\ \mathrm{x} = 1\end{array}$

Vậy S = {0;1}

c)

Chia hai vế phương trình cho 9^x (9^x > 0) ta được:

$4+{\left(\frac{4}{3}\right)}^x-3.{\left(\frac{16}{9}\right)}^x=0 . \mathrm{Đặt} \mathrm{t}={\left(\frac{4}{3}\right)}^{\mathrm{x}} (\mathrm{t}>0)$

$\mathrm{Ta} \mathrm{có}: 4+\mathrm{t}-3{\mathrm{t}}^2=0 \iff [\begin{array}{l}\mathrm{t} = -1 \left(\mathrm{loại}\right)\\ \mathrm{t} = \frac{4}{3}\end{array}$

Với $\mathrm{t}=\frac{4}{3} \iff {\left(\frac{4}{3}\right)}^{\mathrm{x}}=\frac{4}{3} \iff \mathrm{x}=1$

Vậy S = {1}.

d) Điều kiện: x>1, khi đó log₇x > 0.

${\log }_7\left(\mathrm{x}-1\right).{\log }_7\mathrm{x} = {\log }_7\mathrm{x} \iff {\log }_7\left(\mathrm{x}-1\right) = 1 \iff \mathrm{x} = 8$

Vậy S = {8}

e) Điều kiện: x > 0

${\log }_{3}x + {\log }_{\sqrt{3}}x + {\log }_{\frac{1}{3}}x = 6 \iff {\log }_{3}x + 2{\log }_{3}x - {\log }_{3}x = 6 \iff {\log }_{3}x = 3 \iff x = 27$

Vậy S = {27}.

g) $\log \frac{\mathrm{x}+8}{\mathrm{x}-1}=\mathrm{logx} \iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}>0\\ \frac{\mathrm{x}+8}{\mathrm{x}-1}=\mathrm{x}\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}>0\\ {\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-8=0\end{array}\right.\iff \mathrm{x}=4$

Vậy S = {4}.