I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Định nghĩa

Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:

$at+b=0 \left(1\right)$

Trong đó, $a,b$ là các hằng số $\left(a\ne 0\right)$ và $t$ là một trong các hàm số lượng giác.

2. Cách giải

Chia cả hai vế cho $a$ ta được được $\left(1\right)$ về phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ:

$$\begin{gathered} 2\cos x-\sqrt{3}=0 \\ \iff 2\cos x=\sqrt{3} \\ \iff \cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}=\cos \frac{\mathrm{\pi }}{6} \\ \iff x=\pm \frac{\mathrm{\pi }}{6}+k2\mathrm{\pi } \end{gathered}$$

3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác

Ví dụ:

$$\begin{gathered} 5\sin x-\sin 2x=0 \\ \iff 5\sin x-2\sin x\cos x=0 \\ \iff \sin x\left(5-2\cos x\right)=0 \\ \iff [\begin{array}{r}\begin{array}{rcl}\sin x& =& 0\\ 5-2\cos x& =& 0\end{array}\end{array} \\ \iff [\begin{array}{rcl}\sin x& =& 0\\ \cos x& =& \frac{5}{2} \left(VN vì \frac{5}{2}>1\right)\end{array} \\ \iff x=k\mathrm{\pi }, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC

1. Định nghĩa

Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng

$a{t}^2+bt+c=0 \left(a\ne 0\right)$

Trong đó $a,b,c$ là các hằng số và $t$ là một trong số các hàm số lượng giác.

2. Cách giải

- Đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn (nếu có).

- Giải phương trình với ẩn phụ.

- Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản.

Ví dụ:

${\tan }^{2}x-\tan x-2=0 \left(1\right)$

Đặt $t=\tan x$ thì (1) là:

$$\begin{gathered} t^2-t-2=0\iff [\begin{array}{rcl}t& =& -1\\ t& =& 2\end{array} \\ \Rightarrow [\begin{array}{rcl}\tan x& =& -1\\ \tan x& =& 2\end{array} \\ \iff [\begin{array}{rcl}x& =& -\frac{\mathrm{\pi }}{4}+k\mathrm{\pi }\\ x& =& arc\tan 2+k\mathrm{\pi }\end{array}, k\in \mathrm{\mathbb{Z}} \end{gathered}$$

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI  VÀ 

Xét phương trình $a\sin x+b\cos x=c$

+) Chia hai vế phương trình cho $\sqrt{a^2+b^2}$

+) Gọi $\alpha$ là góc lượng giác tạo bởi chiều dương của trục hoành với vecto $\overrightarrow{OM}=\left(a;b\right)$ thì phương trình trở thành một phương trình đã biết cách giải:

                               $\sin \left(x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Chú ý : Để phương trình $\sin \left(x+\alpha \right)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}$ có nghiệm, điều kiện cần và đủ là

$$\begin{gathered} \left|\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}\right|\le 1 \\ \iff \left|c\right|\le \sqrt{a^2+b^2} \\ \iff c^2\le a^2+b^2 \end{gathered}$$

Đó cũng là điều kiện cần và đủ để phương trình $a\sin x+b\cos x=c$ có nghiệm.