Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
Lý thuyết Một số phương trình lượng giác thường gặp
<p><strong>I. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC</strong></p>
<p><strong><em>1. Định nghĩa</em></strong></p>
<p>Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng:</p>
<p style="text-align: left;" align="center"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mi>t</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mfenced><mn>1</mn></mfenced></math></p>
<p>Trong đó, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi></math> là các hằng số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced></math> và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t</mi></math> là một trong các hàm số lượng giác.</p>
<p><strong><em>2. Cách giải</em></strong></p>
<p>Chia cả hai vế cho <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi></math> ta được được <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mn>1</mn></mfenced></math> về phương trình lượng giác cơ bản.</p>
<p><strong>Ví dụ:</strong></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo>-</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mo>=</mo><mn>0</mn><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mn>2</mn><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>2</mn></mfrac><mo>=</mo><mi>cos</mi><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>6</mn></mfrac><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>±</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>6</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>k</mi><mn>2</mn><mi mathvariant="normal">π</mi></math></p>
<p><strong><em>3. Phương trình đưa về phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác</em></strong></p>
<p><strong>Ví dụ:</strong></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>5</mn><mi>sin</mi><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>sin</mi><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mn>5</mn><mi>sin</mi><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>sin</mi><mi>x</mi><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mi>sin</mi><mi>x</mi><mfenced><mrow><mn>5</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>cos</mi><mi>x</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>0</mn><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mo>[</mo><mtable columnspacing="2px" columnalign="right"><mtr><mtd><mtable columnspacing="2px" columnalign="right center left"><mtr><mtd><mi>sin</mi><mi>x</mi></mtd><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mn>5</mn><mo>-</mo><mn>2</mn><mi>cos</mi><mi>x</mi></mtd><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr></mtable></mtd></mtr></mtable><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mo>[</mo><mtable columnspacing="2px" columnalign="right center left"><mtr><mtd><mi>sin</mi><mi>x</mi></mtd><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><mn>0</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>cos</mi><mi>x</mi></mtd><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac><mo> </mo><mo> </mo><mfenced><mrow><mi>V</mi><mi>N</mi><mo> </mo><mi>v</mi><mi>ì</mi><mo> </mo><mfrac><mn>5</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>></mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></mtd></mtr></mtable><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mi mathvariant="normal">π</mi><mo>,</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">k</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℤ</mi></math></p>
<p><strong>II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC</strong></p>
<p><strong><em>1. Định nghĩa</em></strong></p>
<p>Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng</p>
<p style="text-align: left;" align="center"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><msup><mi>t</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>t</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>=</mo><mn>0</mn><mo> </mo><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>≠</mo><mn>0</mn></mrow></mfenced></math></p>
<p>Trong đó <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mo>,</mo><mi>b</mi><mo>,</mo><mi>c</mi></math> là các hằng số và <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t</mi></math> là một trong số các hàm số lượng giác.</p>
<p><strong><em>2. Cách giải</em></strong></p>
<p>- Đặt ẩn phụ và điều kiện cho ẩn (nếu có).</p>
<p>- Giải phương trình với ẩn phụ.</p>
<p>- Từ đó giải phương trình lượng giác cơ bản.</p>
<p><strong><em>Ví dụ:</em></strong></p>
<p style="text-align: left;" align="center"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>tan</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo>-</mo><mi>tan</mi><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>=</mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo> </mo><mfenced><mn>1</mn></mfenced></math></p>
<p>Đặt <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>t</mi><mo>=</mo><mi>tan</mi><mi>x</mi></math> thì (1) là:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>t</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mi>t</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mo>[</mo><mtable columnspacing="2px" columnalign="right center left"><mtr><mtd><mi>t</mi></mtd><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><mo>-</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>t</mi></mtd><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><mn>2</mn></mtd></mtr></mtable><mspace linebreak="newline"/><mo>⇒</mo><mo>[</mo><mtable columnspacing="2px" columnalign="right center left"><mtr><mtd><mi>tan</mi><mi>x</mi></mtd><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><mo>-</mo><mn>1</mn></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>tan</mi><mi>x</mi></mtd><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><mn>2</mn></mtd></mtr></mtable><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mo>[</mo><mtable columnspacing="2px" columnalign="right center left"><mtr><mtd><mi>x</mi></mtd><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><mo>-</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>4</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>k</mi><mi mathvariant="normal">π</mi></mtd></mtr><mtr><mtd><mi>x</mi></mtd><mtd><mo>=</mo></mtd><mtd><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>c</mi><mi>tan</mi><mn>2</mn><mo>+</mo><mi>k</mi><mi mathvariant="normal">π</mi></mtd></mtr></mtable><mo>,</mo><mo> </mo><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℤ</mi><mspace linebreak="newline"/></math></p>
<p><strong>III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI </strong><strong> VÀ </strong></p>
<p>Xét phương trình<strong> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mi>sin</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>c</mi></math></strong></p>
<p>+) Chia hai vế phương trình cho <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></math></p>
<p>+) Gọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>α</mi></math> là góc lượng giác tạo bởi chiều dương của trục hoành với vecto <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>O</mi><mi>M</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mfenced><mrow><mi>a</mi><mo>;</mo><mi>b</mi></mrow></mfenced></math> thì phương trình trở thành một phương trình đã biết cách giải:</p>
<p> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mi>c</mi><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mfrac></math></p>
<p><strong>Chú ý :</strong> Để phương trình <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>sin</mi><mfenced><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>α</mi></mrow></mfenced><mo>=</mo><mfrac><mi>c</mi><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mfrac></math> có nghiệm, điều kiện cần và đủ là</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced open="|" close="|"><mfrac><mi>c</mi><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt></mfrac></mfenced><mo>≤</mo><mn>1</mn><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mfenced open="|" close="|"><mi>c</mi></mfenced><mo>≤</mo><msqrt><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></msqrt><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>≤</mo><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></math></p>
<p>Đó cũng là điều kiện cần và đủ để phương trình <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>a</mi><mi>sin</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo>=</mo><mi>c</mi></math> có nghiệm.</p>
<p><br /><br /><br /></p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
Hướng dẫn giải Hoạt động 1 (Trang 29 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Hoạt động 2 (Trang 31 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Hoạt động 3 (Trang 32 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Hoạt động 4 (Trang 34 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Hoạt động 5 (Trang 35 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Hoạt động 6 (Trang 36 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 36 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 2 (Trang 36 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 3 (Trang 37 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 4 (Trang 37 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 5 (Trang 37 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 6 (Trang 37 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)
Xem lời giải