Hướng dẫn giải Hoạt động 4 (Trang 34 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)

Đề bài

Giải phương trình 3cos² 6x + 8sin3x cos3x – 4 = 0

Phương pháp giải

- Biến đổi phương trình về bậc hai với ẩn $t = \sin 6 x$ .

- Giải phương trình ẩn $t$ và suy ra nghiệm.

Lời giải chi tiết $3 c o s^{2} 6 x + 8 s i n 3 x c o s 3 x - 4 = 0 \Leftrightarrow 3 (1 - s i n^{2} 6 x) + 4 s i n 6 x - 4 = 0 \Leftrightarrow - 3 s i n^{2} 6 x + 4 s i n 6 x - 1 = 0$

3cos² 6x + 8sin3x cos3x – 4 = 0

$\Leftrightarrow 3 (1 - \sin^{2} 6 x) + 4 \sin 6 x - 4 = 0 \Leftrightarrow - 3 \sin^{2} 6 x + 4 \sin 6 x - 1 = 0$

Đặt $\sin 6 x = t$ với điều kiện $- 1 \leq t \leq 1 (*)$ , ta được phương trình bậc hai theo t:

-3t² + 4t - 1 = 0(1)

Δ = 4² - 4.(-1).(-3) = 4

Phương trình (1) có hai nghiệm là:

$t_{1} = \frac{- 4 + \sqrt{4}}{2 . (- 3)} = \frac{1}{3} (T M) t_{2} = \frac{- 4 - \sqrt{4}}{2 . (- 3)} = 1 (T M)$

Ta có:

$\sin 6 x = \frac{1}{3} \Leftrightarrow 6 x = a r c \sin \frac{1}{3} + k 2 π$ và $6 x = π - \arcsin \frac{1}{3} + k 2 π$

$\Leftrightarrow x = \frac{1}{6} a r c \sin \frac{1}{3} + \frac{k π}{3}$ và $x = \frac{π}{6} - \frac{1}{6} a r c \sin \frac{1}{3} + \frac{k π}{3}, k \in ℤ$

$\sin 6 x = 1 \Leftrightarrow \sin 6 x = \sin \frac{π}{2} \Leftrightarrow 6 x = \frac{π}{2} + k 2 π, k \in ℤ \Leftrightarrow x = \frac{π}{12} + \frac{kπ}{3}, k \in ℤ$