Giải các phương trình

a) cosx - $\sqrt{3}\sin x = \sqrt{2}$;                   b)3sin3x - 4cos3x = 5;

c) 2sinx + 2cosx - $\sqrt{2}$ = 0;                d) 5cos2x +12sin2x -13=0

Giải:

a) Chia hai vế phương tình cho $\sqrt{1^2+{(-\sqrt{3})}^2}=2$ta được:

$\frac{1}{2}\cos x -\frac{\sqrt{3}}{2}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}\iff \cos x\cos \frac{\mathrm{\pi }}{3}-\sin \frac{\mathrm{\pi }}{3}\sin x=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\iff \cos (x+\frac{\mathrm{\pi }}{3})=\frac{\sqrt{2}}{2}=\cos \frac{\mathrm{\pi }}{4}\iff {[}_{x+\frac{\mathrm{\pi }}{3}--\frac{\mathrm{\pi }}{4}+k2\mathrm{\pi }}^{x+\frac{\mathrm{\pi }}{3}=\frac{\mathrm{\pi }}{4}+k2\mathrm{\pi }} (k\in \mathrm{\mathbb{Z}})$

                                                  $\iff {[}_{x = -\frac{7\mathrm{\pi }}{12}+k2\mathrm{\pi }}^{x = -\frac{\mathrm{\pi }}{12}+k2\mathrm{\pi }} (k\in \mathrm{\mathbb{Z}})$

b) Chia hai vế phương trình cho $\sqrt{3^2+{(-4)}^2}=5$ ta được

$\frac{3}{5}\sin 3x -\frac{4}{5}\cos 3x=1 \iff \sin 3x\cos \alpha -\sin \alpha \cos 3x=1$

(trong đó $\cos \alpha =\frac{3}{5}và \sin \alpha =\frac{4}{5}$)

Ta có: sin(3x-$\alpha )=\sin \frac{\mathrm{\pi }}{2}\iff 3x-\alpha =\frac{\mathrm{\pi }}{2}+k2\mathrm{\pi }\iff \frac{\mathrm{\pi }}{6}+\frac{\mathrm{\alpha }}{3}+\mathrm{k}\frac{2\mathrm{\pi }}{3}, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

c) Ta có 2sinx +2cosx -$\sqrt{2}=0\iff 2(\sin x+\cos x)=\sqrt{2}$

$\iff 2\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\sqrt{2}\iff \sin \left(x+\frac{\mathrm{\pi }}{4}\right)=\frac{1}{2}=\sin \frac{\mathrm{\pi }}{6}$

$\iff {[}_{x+\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\frac{5\mathrm{\pi }}{6}+k2\mathrm{\pi }}^{x+\frac{\mathrm{\pi }}{4}=\frac{\mathrm{\pi }}{6}+k2\mathrm{\pi }} \iff {[}_{x= \frac{7\mathrm{\pi }}{12}+k2\mathrm{\pi }}^{x=-\frac{\mathrm{\pi }}{12}+k2\mathrm{\pi }} (k\in \mathrm{\mathbb{Z}})$

d) Chia hai vế phương trình cho $\sqrt{5^2+{12}^2}=13$ ta được

$\frac{5}{13}\cos 2x+\frac{12}{13}\sin 2x=1 \iff \cos 2x\cos \alpha +\sin 2x\sin \alpha =1$

(trong đó $\cos \alpha =\frac{5}{13} và \sin \alpha =\frac{12}{13})$

Ta có: cos (2x-$\alpha )=1 \iff 2x-\alpha =k2\mathrm{\pi }\iff \mathrm{x}=\frac{\mathrm{\alpha }}{2}-\mathrm{k\pi }, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$