Hướng dẫn giải Bài 4 (Trang 37 SGK Toán Đại số & Giải tích 11)

Giải các phương trình: a) 2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>sin</mi><mi>x</mi><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>3</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn></math>;                      b) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>3</mn><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mi>sin</mi><mi>x</mi><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>5</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>2</mn></math>; c) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>sin</mi><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>2</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math>                              d) <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>3</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mi>sin</mi><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>4</mn><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mn>4</mn></math>; Giải: a) Ta có với cosx = 0 thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mn>1</mn><mo> </mo></math>nên giá trị x mà cosx = 0 không thỏa mãn phương trình. Chia hai vế phương trình cho <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>≠</mo><mn>0</mn></math> được <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>2</mn><msup><mi>tan</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>tan</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>3</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><msubsup><mo>[</mo><mrow><mi>tan</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow><mrow><mi>tan</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>⇔</mo><msubsup><mo>[</mo><mrow><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>c</mi><mi>tan</mi><mfenced><mrow><mo>-</mo><mfrac><mn>3</mn><mn>2</mn></mfrac></mrow></mfenced><mo>-</mo><mi>k</mi><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow><mrow><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>4</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>k</mi><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow></msubsup><mo> </mo><mo> </mo><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℤ</mi><mo>)</mo></math> b) Ta có với cosx = 0 thì <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mn>1</mn><mo> </mo></math>nên giá trị x mà cosx = 0 không thỏa mã phương trình. Chia hai vế phương trình cho <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>≠</mo><mn>0</mn><mo> </mo><mi>t</mi><mi>a</mi><mo> </mo><mi>đ</mi><mi>ư</mi><mi>ợ</mi><mi>c</mi><mo> </mo><mn>3</mn><msup><mi>tan</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mi>tan</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>5</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>2</mn><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>tan</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo>)</mo></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><msup><mi>tan</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mn>4</mn><mi>tan</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>3</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>⇔</mo><msubsup><mo>[</mo><mrow><mi>tan</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mi>tan</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo>⇔</mo><msubsup><mo>[</mo><mrow><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>c</mi><mi>tan</mi><mn>3</mn><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>k</mi><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow><mrow><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>4</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>k</mi><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow></msubsup><mo> </mo><mo> </mo><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℤ</mi><mo>)</mo></math> c) Ta có với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>sin</mi><mn>2</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>2</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>⇔</mo><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mn>2</mn><mi>sin</mi><mi>x</mi><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>2</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac></math> Giá trị x mà cos = 0 không thỏa mãn phương trình. Chia hai vế phương trình cho <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>≠</mo><mn>0</mn><mo> </mo><mi>t</mi><mi>a</mi><mo> </mo><mi>đ</mi><mi>ư</mi><mi>ợ</mi><mi>c</mi><mo>;</mo></math> 2<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msup><mi>tan</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mi>tan</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>1</mn><mo>+</mo><msup><mi>tan</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi></math> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><msup><mi>tan</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mi>tan</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>5</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><msubsup><mo>[</mo><mrow><mi>tan</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mo>-</mo><mn>5</mn></mrow><mrow><mi>tan</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>1</mn></mrow></msubsup><mo> </mo><mo>⇔</mo><msubsup><mo>[</mo><mrow><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mi>a</mi><mi>r</mi><mi>c</mi><mi>tan</mi><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>5</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mi>k</mi><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow><mrow><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>4</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>k</mi><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow></msubsup><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℤ</mi><mo>)</mo></math>  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>d</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mn>2</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mn>6</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mi>sin</mi><mi>x</mi><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>4</mn><msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mn>6</mn><msup><mi>cos</mi><mn>2</mn></msup><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mn>6</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mi>sin</mi><mi>x</mi><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>(</mo><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mi>sin</mi><mi>x</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mspace linebreak="newline"/><mo>⇔</mo><msubsup><mo>[</mo><mrow><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>-</mo><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mi>sin</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn></mrow><mrow><mi>cos</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mn>0</mn></mrow></msubsup><mo>⇔</mo><msubsup><mo>[</mo><mrow><mi>tan</mi><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><msqrt><mn>3</mn></msqrt><mn>3</mn></mfrac></mrow><mrow><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>k</mi><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow></msubsup><mo>⇔</mo><msubsup><mo>[</mo><mrow><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>6</mn></mfrac><mo> </mo><mo>+</mo><mi>k</mi><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow><mrow><mi>x</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>+</mo><mi>k</mi><mi mathvariant="normal">π</mi></mrow></msubsup><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo>(</mo><mi>k</mi><mo>∈</mo><mi mathvariant="normal">ℤ</mi><mo>)</mo></math>