Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và tia phân giác của góc A cắt đường tròn tại M. Vẽ đường cao AH. Chứng minh rằng :

a) OM đi qua trung điểm của dây BC ;

b) AM là tia phân giác của góc OAH.

Giải :

a) Vì AM là tia phân giác $\widehat{BAC}$ nên

                  $\widehat{BAM}=\widehat{MAC}$

               $\Rightarrow \stackrel{⏜}{BM}=\stackrel{⏜}{MC}$

Suy ra M là điểm chính giữa của cung $\stackrel{⏜}{BC}$, từ đó $OM\perp BC$ và OM đi qua trung điểm của BC (định lí).

b) $OM\perp BC, AH\perp BC$vậy OM//AH, từ đó

         $\widehat{HAM}=\widehat{AMO}$ (so le trong)                                 (1)

         $∆OAM$cân (OA = OM) $\Rightarrow \widehat{OAM}=\widehat{AMO}$           (2)

So sánh (1) và (2), có $\widehat{HAM}=\widehat{OAM}.$

Vậy AM là tia phân giác của $\widehat{OAH}$.