Cho tam giác ABC vuông ở A. Trên AC lấy một điểm M và vẽ đường tròn đường kính MC. Kẻ Bm cắt đường tròn tại D. Đường thẳng DA cắt đường tròn tại S. Chứng minh rằng :

a) ABCD là một tứ giác nội tiếp ;                     b)$\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$;

c) CA là tia phân giác của góc SCB.

Giải :

a) $\widehat{MOC}=90°$(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

   $\widehat{BAC}=90°$ (theo giả thiết)

Điểm A và D đều nhìn đoạn thẳng BC cố định dưới góc $90°$, vậy A và D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.

Nói cách khác, ABCD là một tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính BC.

b) Trong đường tròn đường kính BC, $\widehat{ABD}=\widehat{ACD}$ vì cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{AD}$.

c) $\widehat{SDM}=\widehat{MCS} \left(1\right)$ (cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{MS}$ của đường tròn (O). Lại có 

    $\widehat{ADB}=\widehat{ACB} \left(2\right)$ (cùng chắn cung $\stackrel{⏜}{AB}$ của đường tròn đường kính BC).

So sánh (1) và (2) suy ra:

                  $\widehat{SCA}=\widehat{ACB}$

Vậy CA là tia phân giác của $\widehat{SCB}.$