Các đường cao hạ từ A và B của tam giác ABC cắt nhau tại H (góc C khác $90°$) và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC lần lượt tại D và E. Chứng minh rằng : 

a) CD = CE;               b)$∆BHD$ cân               c) CD = CH

Giải :

a) AD $\perp BC$ tại A' nên $\widehat{AA\text{'}B}$=$90°$.

Vì $\widehat{AA\text{'}B}$ là góc có đỉnh ở trong đường tròn nên:

                        $\stackrel{⏜}{AB}+\stackrel{⏜}{DC}=180°$            (1)

Cũng vậy, vì $BE\perp AC$ tại B' nên $\widehat{AB\text{'}B}=90°$, ta có:

                        $\stackrel{⏜}{AB}+\stackrel{⏜}{CE}=180°$            (2)

So sánh (1) và (2) suy ra $\stackrel{⏜}{DC}=\stackrel{⏜}{CE} hay DC =CE.$

   Cách chứng minh khác:

$\widehat{DAC}=\widehat{CBE}$ (hai góc nhọn có cạnh tương ứng vuông góc, $AD\perp BC, AC\perp BE)$

                  $\Rightarrow \stackrel{⏜}{CD}=\stackrel{⏜}{CE}\Rightarrow CD=CE$

b) $\widehat{EBC}=\frac{EC}{2}$

   $\widehat{CBD}=\frac{\stackrel{⏜}{DC}}{2}$

Mà $\stackrel{⏜}{DC}=\stackrel{⏜}{EC}\Rightarrow \widehat{EBC}=\widehat{CBD}\Rightarrow ∆BHD$cân (vì trong tam giác này, BA' là đường cao, vừa là phân giác).

c) Từ tam giác cân BHD suy ra HA'=A'D (BA' là đường trung trực của cạnh HD). Điểm C nằm trên đường trung trực của HD nên CH = CD.