Cho tam giác ABC có BC=16 cm, đường cao AH=12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q thuộc cạnh BC. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36 $c{m}^2$.

Giải:

Để xác định vị trí của M ta chỉ cần tính độ dài đoạn AK. Gọi độ dạ̀i đoan AK là x cm, x>0.

Vì ABC đồng dạng với $△$AMN nên:

$\frac{MN}{BC}=\frac{AM}{AB}=\frac{AK}{AH}=\frac{x}{12}$

Suy ra: $MN=\frac{16x}{12}=\frac{4x}{3}$

Mặt khác: MQ=KH=$12-x$

Do đó diện tích của hình chữ nhật MNPQ$=\left(12-x\right).\frac{4x}{3}$

Theo đầu bài ta có phương trình:

$\left(12-x\right).\frac{4x}{3}=36$ hay $x^2-12x+27=0$

Giải phương trình: $△\text{'}={\left(-6\right)}^2-27=36-27=9\Rightarrow \sqrt{△\text{'}}=3$

Do đó: $x_1=\frac{6-3}{1}=3, x_2=\frac{6+3}{1}=9$

Trả lời: Độ dài của AK bằng 3 cm hoặc 9 cm.