Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

$$\begin{gathered} a) 2{\left(x^2-2x\right)}^2+3\left(x^2-2x\right)+1=0 \\ b) {\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-4\left(x+\frac{1}{x}\right)+3=0 \end{gathered}$$

Giải: 

$a) 2{\left(x^2-2x\right)}^2+3\left(x^2-2x\right)+1=0$

Đặt $x^2-2x=t$, ta có: $2t^2+3t+1=0$

$t_1=-1, t_2=-\frac{1}{2}$

- Với $t_1=-1$, ta có: $x^2-2x=-1\iff x^2-2x+1=0$

Phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=1$

- Với $t_2=-\frac{1}{2}$, ta có $x^2-2x=-\frac{1}{2}\iff 2x^2-4x+1=0$

Phương trình có hai nghiệm phân biệt: $x_3=\frac{2+\sqrt{2}}{2}, x_4=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$

Vậy phương trình có ba nghiệm: $x_1=x_2=1, x_3=\frac{2+\sqrt{2}}{2}, x_4=\frac{2-\sqrt{2}}{2}$

$b) {\left(x+\frac{1}{x}\right)}^2-4\left(x+\frac{1}{x}\right)+3=0$. Điều kiện: $x\ne 0$

Đặt $x+\frac{1}{x}=t$, ta có: $t^2-4t+3=0\Rightarrow t_1=1, t_2=3$

- Với $t_1=1$, ta có: $x+\frac{1}{x}=1\iff x^2-x+1=0$

Phương trình vô nghiệm.

- Với $t_2=3$, ta có: $x+\frac{1}{x}=3\iff x^2-3x+1=0$

Phương trình có hai nghiệm $x_1=\frac{3+\sqrt{5}}{2}, x_2=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$