Cho điểm M(1;4;2) và mặt phẳng ($\alpha$): x+y+z-1=0.

a,Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm M trên mặt phẳng ($\alpha$).

b, Tìm toạ độ điểm M' đối xứng với M qua mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

c,Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng $\left(\alpha \right)$.

Giải

$$\begin{gathered} a,Gọi △ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với mặt phẳng \left(\alpha \right),\hspace{0.17em} \\ VTPT \overrightarrow{n_{\alpha }}=\overrightarrow{a_{△}}=(1;1;1) VTCP của △ nên \\ △ có phương trình tham số là :\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=4+t\\ z=2+t\end{array}\right. \\ Toạ độ H là nghệm của hệ phương trình : \left\{\begin{array}{l}x=1+t \left(1\right)\\ y=4+t \left(2\right)\\ z=2+t \left(3\right)\\ x+y+z-1=0 \left(4\right)\end{array}\right. \\ Thay \left(1\right),\left(2\right),\left(3\right) vào (4/0 ta được : \\ 1+t+4+t+2+t-1=0 \iff 3t+6=0\iff t=-2 \\ Khi đó x=-1;y=-2;z=0 . Vậy H(-1;2;0). \end{gathered}$$

b, Gọi M'là điểm đối xứng của M qua ($\alpha$)

$Ta có \overrightarrow{MM\text{'}}=2\overrightarrow{MH} \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{M\text{'}} -1=-4\\ y_{M\text{'}} -4=-4\\ z_{M\text{'}} -2=-4\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{M\text{'}} =-3\\ y_{M\text{'}} =0\\ z_{M\text{'}} =-2\end{array}\right. Vậy M\text{'}(-3;0;-2).$

$$\begin{gathered} c, Khoảng cách từ M đến mp\left(\alpha \right) \\ d(M,(\alpha \left)\right)=MH=\sqrt{{(-2)}^2 +{(-2)}^2+{(-2)}^2}=2\sqrt{3} \\ Cách khác : d\left(\right(M,\left(\alpha \right))=\frac{\left|1+4+2-1\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3} \end{gathered}$$