Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng d và d' cho bởi các phương trình sau :

a, $d :\left\{\begin{array}{l}x=-3+2t\\ y=-2+3t\\ z=6+4t\end{array}\right. và d\text{'} : \left\{\begin{array}{l}x=5+t\\ y=-1-4t\\ z=20+t\end{array}\right.$

b, $d :\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\\ z=3-t\end{array}\right. và d\text{'}:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\text{'}\\ y=-1+2t\text{'}\\ z=2-2t\text{'} .\end{array}\right.$

Giải

$$\begin{gathered} a, Xét hệ phương trình :\left\{\begin{array}{l}-3+2t=5+t\text{'} \left(1\right)\\ -2+3t=-1-4t\text{'} \left(2\right)\\ 6+4t=20+t\text{'} \left(3\right)\end{array}\right. \\ Từ \left(1\right) và \left(2\right) ta suy ra :\left\{\begin{array}{l}2t-t\text{'}=8\\ 3t+4t\text{'}=1\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}t=3\\ t\text{'}=-2\end{array}\right. \\ Các giá trị này của t và t\text{'} thoả mãn pương trình \left(3\right).Vậy hai đường thẳng d và d\text{'} cắt nhau tại M(3;7;18). \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} b, Đường thẳng d đi qua điểm M(1;2;3) và có VTCP \overrightarrow{a}=(1;1; -1), đường thẳng d\text{'} đi qua điểm M\text{'}(1;-1;2) và có VTCP là \overrightarrow{a}\text{'}=(2;2;-2). \\ Ta có \overrightarrow{a}\text{'} =2 \overrightarrow{a} và M \notin d\text{'}. Suy ra d\text{'} // d. \end{gathered}$$