Tìm số giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ trong các trường hợp sau :

$$\begin{gathered} a, d:\left\{\begin{array}{l}x=12+4t\\ y=9+3t\\ z=1+t\end{array}\right. và \left(\alpha \right) :3x+5y-z-2=0 \\ b, d:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2-t\\ z=1+2t\end{array}\right. và \left(\alpha \right) :x+3y+z+1=0 \\ c, d:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=1+2t\\ z=2-3t\end{array}\right. và \left(\alpha \right) :x+y+z-4=0. \end{gathered}$$

Giải

$$\begin{gathered} a, Đường thẳng d có VTCP là \overrightarrow{a}=(4;3;1) Mp\left(\alpha \right) có VTPT \overrightarrow{n}=(3;5; -1) \\ Ta có \overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}=4.3+3.5+1.(-1)=26 \ne 0 \\ Vậy d không song song với \left(\alpha \right) nên d cắt \left(\alpha \right) tại một điểm duy nhất. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} b, d đi qua điểm M(1;2;1) và có VTCP \overrightarrow{a}=(1;-1;2) mặt phẳng \left(\alpha \right) có VTPT \overrightarrow{n}=(1;3;1). \\ Ta có :\overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}=1-3+2=0 \left(1\right) và M\notin \left(\alpha \right) \left(2\right). \\ Từ \left(1\right) và \left(2\right) suy ra d//\left(\alpha \right) hay đường thẳng d và mặt phẳng \left(\alpha \right) không điểm chung. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} c,d đi qua điểm N(1;1;2) và có VTCP \overrightarrow{a}=(1;2; -3) mặt phẳng \left(\alpha \right) có VTPT \overrightarrow{n}=(1;1;1). \\ Ta có : \overrightarrow{a}. \overrightarrow{n}=1+2-3=0 \left(1\right) và \Rightarrow N\in \left(\alpha \right) \left(2\right). \\ Từ \left(1\right) và \left(2\right) suy ra đường thẳng d nằm trong mặt phẳng \left(\alpha \right) hay d và \left(\alpha \right) có vô số điểm chung. \end{gathered}$$