Viết phương trình tham số của đường thẳng là hình chiếu vuông góc của đường thẳng d :$\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-3+2t\\ z=1+3t\end{array}\right.$

lần lượt trên các mặt phẳng sau :

a, (Oxy) 

b, (Oyz) .

Giải

a, Phương trình mp(Oxy) là z=0

$$\begin{gathered} Gọi \left(\alpha \right) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với \left(Oxy\right) \\ Vectơ chỉ phương của d là\overrightarrow{ a}=(1;2;3). \\ Mp\left(\alpha \right) nhận cặp véctơ chỉ phương là \overrightarrow{ a} và \overrightarrow{k}=(0;0;1) ,do đó vectơ pháp tuyến của \left(\alpha \right) là \overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{ a},\overrightarrow{k}\right]=(2;-1;0). \end{gathered}$$

Hình chiếu vuông góc d' của d trên Oxy là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ và (Oxy).

Ta có $\left(\alpha \right)$ đi qua M(2; -3; 1) và vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_{\alpha }}=(2;-1;0)$ nên $$\begin{gathered} \left(\alpha \right) có phương trình :2(x-2) - (y+3)=0. \\ Vậy M(x;y;z) \in d\text{'} \iff \left\{\begin{array}{l}2x-y-7 =0\\ z=0\end{array}\right.(*) \\ Vectơ chỉ phương của d\text{'} vuông góc với \overrightarrow{n_{\alpha }} và \overrightarrow{k} nên d\text{'} có VTCP là :\overrightarrow{a_{d\text{'}}}=\left[\overrightarrow{n_{\alpha }},\overrightarrow{k}\right]=(-1;-2;0). \\ Từ (*) cho x=2 \Rightarrow y=-3,z=0 do đó A(2;-3;0) \in d\text{'}. \\ Phương trình tham số của d\text{'} là :\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=-3-2t\\ z=0\end{array}\right. \end{gathered}$$

b, Phương trình mp(Oyz) là x=0.

$$\begin{gathered} Gọi \left(\beta \right) là mặt phẳng chứa d và vuông góc với mp\left(Oyz\right). \\ Mp\left(\beta \right) nhận \overrightarrow{a} và\overrightarrow{i}=(1;0;0) làm cặp VTCP nên VTPT của \left(\beta \right) là \overrightarrow{n_{\beta }}=\left[ \overrightarrow{a},\overrightarrow{i}\right]=(0;3;-2). \\ \left(\beta \right) đi qua M(2;-3;1) và VTPT \overrightarrow{n_{\beta }} nên \left(\beta \right) có phương trình : \\ 3(y-2) -2(z-1)=0 \iff 3y-2z-4=0 \\ Ta có M(x;y;z)\in d\text{'}\text{'} \iff \left\{\begin{array}{l}3x-2z-4=0\\ x=0\end{array}\right.(**) \\ (d\text{'}\text{'} là hình chiếu của d trên mp(Oyz\left)\right). \\ VTCP của d\text{'}\text{'} vuông góc với \overrightarrow{n_{\beta }} và \overrightarrow{i} nên d\text{'}\text{'} có VTCP là : \overrightarrow{a_{d\text{'}\text{'}}}=\left[ \overrightarrow{n_{\beta }},\overrightarrow{i} \right] =(0; -2; -3). \\ Từ (**) cho z=1\Rightarrow y=2,x=0. Do đó B(0;2;1) \in d\text{'}\text{'}. \\ Phương trình tham số của d\text{'}\text{'} là :\left\{\begin{array}{l}x=0\\ y=2-2t\\ z=1-3t\end{array}\right. \end{gathered}$$