Cho điểm A(1;0;0) và đường thẳng $△$ : $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=1+2t\\ z=t.\end{array}\right.$

a, Tìm toạ độ điểm H là hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng $△$.

b, Tìm toạ độ điểm A' đối xứng với A qua đường thẳng $△$.

Giải

$$\begin{gathered} a, Đường thẳng △ có VTCP \overrightarrow{a_{△}}=(1;2;1) \\ Gọi \left(\alpha \right) là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với △. Khi đó \left(\alpha \right) có VTPT \overrightarrow{n_{\alpha }}=\overrightarrow{a_{△}}=(1;2;1) \\ Phương trình mặt phẳng \left(\alpha \right) là : \\ 1.(x-1)+2.y+1.z=0 \iff x+2y+z-1=0 \left(1\right) \\ Hình chiếu vuông góc H của A trên đường thẳng △ là giao điểm của △ và \left(\alpha \right). \\ Thay x=2+t, y=1+2t, z=t vào \left(1\right) ta được \\ 2+t+2+4t+t-1=0 \iff t=-\frac{1}{2} \\ Suy ra x=\frac{3}{2} ,y=0 , z=-\frac{1}{2} \\ Vậy H(\frac{3}{2};0;-\frac{1}{2}). \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} Cách khác : Gọi H(2+t;1+2t;t) là hình chiếu vuông góc của A trên △, \\ ta có : \overrightarrow{AH} =(1+t;1+2t;t) \\ Đường thẳng △có VTCP \overrightarrow{a_{△}}=(1;2;1). \\ Do \overrightarrow{AH.}\overrightarrow{a_{△}}=0, ta suy ra t=-\frac{1}{2} . Vậy ta được H=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2};0;& -\frac{1}{2}\end{array}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} b, Gọi A\text{'} là điểm đối xứng của A qua △ \iff \overrightarrow{AA\text{'}}=2\overrightarrow{AH} \\ \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{A\text{'}} - 1=2\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2} -& 1\end{array}\right)\\ y_{A\text{'} } -0=2(0-0)\\ z_{A\text{'}} -0=2\left(-\frac{1}{2}-0\right)\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{A\text{'}} =0\\ y_{A\text{'} }=0\\ z_{A\text{'}}=-1\end{array}\right. \\ Vậy ta được A\text{'}(2;0;-1) \end{gathered}$$