Giải bài toán sau đây bằng phương pháp toạ độ :

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng 1.Tính khoảng cách từ đỉnh A đến các mặt phẳng (A'BD) và (B'D'C).

Giải

$$\begin{gathered} Ta chọn hệ toạ độ Oxyz sao cho O\equiv A,\overrightarrow{i}=\overrightarrow{AB},\overrightarrow{j}=\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{k}=\overrightarrow{AA\text{'}} \\ Trong hệ toạ độ Oxyz ta có : \\ A\text{'}(0;0;1) , B(1;0;0), D(0;1;0), B\text{'}(1;0;1) , D\text{'}(0;1;1), C(1;1;0). \\ Đặt \left(\alpha \right) =(A\text{'}BD) và \left(\beta \right) =(B\text{'}D\text{'}C) ta có phương trình của các mp\left(\alpha \right), \left(\beta \right) là : \\ \left(\alpha \right) :\frac{x}{1}+\frac{y}{1}+\frac{z}{1}=1 \iff x+y+z-1=0 \\ \left(\beta \right) : (x-1)+(y-1)+z=0 \iff x+y+z-2=0 \\ Vì A(0;0;0) nên : d(A, (\alpha \left)\right) =\frac{\left|-1\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}} \\ d(A, (\beta \left)\right) =\frac{\left|-2\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \end{gathered}$$