Hướng dẫn giải Bài 5 (Trang 80 SGK Toán Hình học 12)

Cho tứ diện có các đỉnh là A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6). a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) và (BCD). b) Hãy viết phương trình mặt phẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>α</mi></mfenced></math> đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD. Giải: a) Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>;</mo><mo> </mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>D</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></math>  Mặt phẳng (ACD) có vectơ pháp tuyến <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>n</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]"><mrow><mover><mrow><mi>A</mi><mi>C</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mrow><mi>A</mi><mi>D</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>;</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math> Vậy phương trình của mặt phẳng (ACD) là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>5</mn><mo>)</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>y</mi><mo>+</mo><mi>z</mi><mo>-</mo><mn>14</mn><mo>=</mo><mn>0</mn></math> Tương tự mặt phẳng (BCD) có phương trình là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>6</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>3</mn><mi>z</mi><mo>-</mo><mn>42</mn><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math> b) Ta có: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>4</mn><mo>;</mo><mn>5</mn><mo>;</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mi>v</mi><mi>à</mi><mo> </mo><mover><mrow><mi>C</mi><mi>D</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></math>, suy ra mặt phẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>α</mi></mfenced></math> có vectơ pháp tuyến là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mover><mi>n</mi><mo>→</mo></mover><mo>=</mo><mfenced open="[" close="]"><mrow><mover><mrow><mi>A</mi><mi>B</mi></mrow><mo>→</mo></mover><mo>,</mo><mover><mrow><mi>C</mi><mi>D</mi></mrow><mo>→</mo></mover></mrow></mfenced><mo>=</mo><mo>(</mo><mn>10</mn><mo>;</mo><mn>9</mn><mo>;</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></math> Vậy phương trình của mặt phẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfenced><mi>α</mi></mfenced></math> là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mn>10</mn><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><mn>5</mn><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>9</mn><mo>(</mo><mi>y</mi><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>+</mo><mn>5</mn><mo>(</mo><mi>z</mi><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>⇔</mo><mn>10</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>9</mn><mi>y</mi><mo>+</mo><mn>5</mn><mi>z</mi><mo>-</mo><mn>74</mn><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>.</mo></math>

Xem lời giải bài tập khác cùng bài