Cho tứ diện có các đỉnh là A(5;1;3), B(1;6;2), C(5;0;4), D(4;0;6).

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ACD) và (BCD).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua cạnh AB và song song với cạnh CD.

Giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AC}=(0;-1;1); \overrightarrow{AD}=(-1;-1;3)$ 

Mặt phẳng (ACD) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}\right]=(-2;-1;-1)$

Vậy phương trình của mặt phẳng (ACD) là:

$-2(x-5)-1(y-1)-1(z-3)=0\iff 2x+y+z-14=0$

Tương tự mặt phẳng (BCD) có phương trình là: $6x+5y+3z-42=0.$

b) Ta có: $\overrightarrow{AB}=(-4;5;-1) và \overrightarrow{CD}=(-1;0;2)$, suy ra mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có vectơ pháp tuyến là

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{CD}\right]=(10;9;5)$

Vậy phương trình của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là:

$10(x-5)+9(y-1)+5(z-3)=0\iff 10x+9y+5z-74=0.$