Giải bài toán sau đây bằng phương pháp tọa độ:

Cho hình lập phương $ABCD.A\text{'}B\text{'}C\text{'}D\text{'}$ cạnh bằng 1.

a) Chứng minh rằng hai mặt phẳng (AB'D') và (BC'D) song song với nhau.

b) Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng nói trên.

Giải:

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ. Ta có:

$$\begin{gathered} A(0;0;0), B(1;0;0), C(1;1;0), D(0;1;0) \\ A\text{'}(0;0;1), B\text{'}(1;0;1), C\text{'}(1;1;1), D\text{'}(0;1;1) \end{gathered}$$  

a) Đặt $\left(\alpha \right)=(AB\text{'}D\text{'}) và \left(\beta \right)=(BC\text{'}D).$ Ta có $\overrightarrow{AB\text{'}}=(1;0;1) \mathrm{và} \overrightarrow{AD\text{'}}=(0;1;1),$

suy ra mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có vec tơ pháp tuyến là: $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left[\overrightarrow{AB\text{'}},\overrightarrow{AD\text{'}}\right]=(1;1-1)$

Vậy phương trình của mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ là x+y-z=0.

Ta có $\overrightarrow{BC}\text{'}=(0;1;1)$ và $\overrightarrow{BD}=(-1;1;0)$

Suy ra mặt phẳng $\left(\beta \right)$ có vec tơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_{\beta }}=\left[\overrightarrow{BC}\text{'},\overrightarrow{BD}\right]=(-1;-1;1)$

Phương trình mặt phẳng $\left(\beta \right)$ là:

$-1(x-1)-1.y+1.z=0\iff x+y-z-1=0.$

Ta có: $\frac{1}{1}=\frac{1}{1}=\frac{-1}{-1} \ne \frac{0}{-1}$, vậy hai mặt phẳng $\left(\alpha \right) \mathrm{và} \left(\beta \right)$ song song với nhau.

b) $d\left(\left(\alpha \right),\left(\beta \right)\right)=d\left(A,\left(\beta \right)\right)=\frac{\left|-1\right|}{\sqrt{1^2+1^2+{(-1)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}.$