Viết phương trình của mặt phẳng:

a) Đi qua điểm M(1;-2;4) và nhận $\overrightarrow{n}=(2;3;5)$ làm vectơ Pháp tuyến;

b) Đi qua điểm A(0;-1;2) và song song với giá của hai vectơ $\overrightarrow{u}=(3;2;1) \mathrm{và} \overrightarrow{v}=(-3;0;1);$

c) Đi qua ba điểm A(-3;0;0), B(0;-2;0) và C(0;0;-1).

Giải:

a) Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua M(1;-2;4) và nhận $\overrightarrow{n}=(2;3;5)$ làm vectơ Pháp tuyến có phương trình là:

$\left(\alpha \right): 2(x-1)+3(y+2)+5(z-4)=0\iff 2x+3y+5z-16=0$

b) Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng đã cho là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{u};\overrightarrow{v}\right]=(2;-6;6).$

$\left(\alpha \right)$ qua A(0;-1;2) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=(2;-6;6)$ có phương trình là:

$2(x-0)-6(y+1)+6(z-2)=0\iff x-3y+3z-9=0.$

c) Mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ có phương trình theo đoạn chắn là:

$\frac{x}{-3}+\frac{y}{-2}+\frac{z}{-1}=1 \mathrm{hay} 2x+3y+6z+6=0.$