Câu hỏi: Cho hàm số  $y=2x^2+2mx+m-1$ có đồ thị là $\left(C_m\right)$, m là tham số.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi $m=1$.

b) Xác định m để hàm số

   i) Đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty )$;

   ii) Có cực trị trên khoảng $(-1;+\infty )$;

c) Chứng minh rằng $\left(C_m\right)$ luôn cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Hướng dẫn Giải:

a) Với $m=1$ ta có $y=2x^2+2x$

+ TXĐ: $D=\mathrm{ℝ}$

$y\text{'}=4x+2; y\text{'}=0 \iff x=-\frac{1}{2} (y=-\frac{1}{2})$

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=+\infty$

+ Bảng biến thiên:

+ Đồ thị hàm số:

Đồ thị đi qua $O(0;0); A(-1;0)$

b) Ta có:

$$\begin{gathered} y\text{'}=4x+2m \\ y\text{'}=0 \iff x=-\frac{m}{2} \end{gathered}$$

Bảng biến thiên:

i) Hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;+\infty )$ khi và chỉ khi $-\frac{m}{2}\le -1\iff m\ge 2$

ii) Hàm số  có cực trị trên khoảng $(-1;+\infty )$ khi và chỉ khi $-1<-\frac{m}{2}\iff m<2$

c) Phương trình hoành độ giao điểm của $\left(C_m\right)$ với trục hoành

$2x^2+2mx+m-1=0$

Ta có: $∆\text{'}=m^2-2m+2={(m-1)}^2+1>0, \forall m\in \mathrm{ℝ}$

Vậy $\left(C_m\right)$ luôn cắt trục Ox tại hai điểm phân biệt.