Cho hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2-4x+6$.

a) Giải phương trình $f\text{'}\left(\sin \left(x\right)\right)=0$.

b) Giải phương trình $f"\left(\cos \left(x\right)\right)=0$.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số đã cho tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình $f"\left(x\right)=0.$

Giải

a) Ta có $f\text{'}\left(x\right)=x^2-x-4;$

$f\text{'}\left(x\right)=0 \iff x^2-x-4=0 \iff x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}$.Ta có $\left|x\right|>1$

Cả hai giá trị này của x đều nằm ngoài đoạn $\left[-1;1\right]$. Suy ra phương trình $f\text{'}\left(\sin \left(x\right)\right)=0$ vô nghiệm.

b)  Ta có $f"\left(x\right)=2x-1$;

Do đó $f"\left(x\right)=0 \iff x=\frac{1}{2}$

Suy ra phương trình $f"\left(\cos \left(x\right)\right)=0 \iff \cos \left(x\right)=\frac{1}{2}\iff x=\pm \frac{\mathrm{\pi }}{3}+k2\mathrm{\pi }, \mathrm{k}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

c) theo câu b) nghiệm của phương trình $f"\left(x\right)=0$ là $x=\frac{1}{2}$

Ta có $f\text{'}\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{17}{4}$ và $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{47}{12}$

Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm có dạng:

$y=-\frac{17}{4}\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{47}{12}$ hay $y=-\frac{17}{4}x+\frac{145}{24}$