Nêu cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm. Tìm các cực trị của hàm số

$y=x^4-2x^2+2$

Giải:

a) Cách tìm cực đại, cực tiểu của hàm số nhờ đạo hàm:

Quy tắc 1:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó f'(x) bằng 0 hoặc f'(x) không xác định.

3. Lập bảng biến thiên.

4. Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Quy tắc 2:

1. Tìm tập xác định.

2. Tính f'(x). Giải phương trình f'(x) = 0 và kí hiệu x_i (i = 1, 2, 3, ...) là các nghiệm của nó.

3. Tính f"(x) và f"(x_i)

4. Nếu f"(x_i) > 0 thì x_i là điểm cực tiểu.

Nếu f"(x_i) < 0 thì x_i là điểm cực đại.

b) Xét hàm số y = x⁴ - 2x² + 2, ta có:

y' = 4x³ - 4x = 4x(x² - 1)

y' = 0 ⇔ 4x(x² - 1) = 0 ⇔ x = 0; x = ±1

y" = 12x² - 4

Dựa vào Quy tắc 2, ta có:

y"(0) = -4 < 0 ⇒ x = 0 là điểm cực đại.

y"(-1) = y"(1) = 8 > 0 ⇒ x = ±1 là hai điểm cực tiểu.