a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số $y=\frac{x+3}{x+1}$

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng $y=2x+m$ luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N

c) Xác định M sao cho độ dài MN là nhỏ nhất

d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại (P) và (Q). Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.

Giải

a) Tập xác định $D=\mathrm{ℝ}\backslash \left\{-1\right\}$

$y\text{'}=-\frac{2}{{(x+1)}^2 }<0; \forall x\ne -1$

$\underset{x\to -1^{+}}{\lim }y=+\infty ; \underset{x\to -1^{-}}{\lim }y=-\infty$ nên $x=-1$ là tiệm cận đứng

$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }y=1$ nên $y=1$là tiệm cận ngang

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số:

b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là:

$\frac{x+3}{x+1}=2x+m \iff 2x^2+(m+1)x+m-3=0 \left(1\right) (x\ne -1)$

Ta có $∆={(m+1)}^2-8(m-3)=m^2-6m+25={(m-3)}^2+16>0, \forall m$

Vậy d luôn cắt (C) tại hai điểm M và N có hoành độ $x_1;x_2$ thỏa:

$x_1+x_2=-m+12; x_1{x}_2=m-32$

c) Ta có $x_P+x_Q=2x_0=2x_S$

$M{N}^2={(x_2-x_1)}^2+{(y_2-y_1)}^2={(x_2-x_1)}^2+{(2x_2+m-2x_1-m)}^{2 }$

$=5{(x_2-x_1)}^2=5\left[{\left(x_1+x_2\right)}^2-4x_1{x}_2\right]=5\left[{\left(\frac{m+1}{2}\right)}^2-2(m-3)\right]$

$=\frac{5}{4}(m^2-6m+25)=\frac{5}{4}[{(m-3)}^2+16]\ge 20$

Đẳng thức xảy ra khi m=3 và min MN=25

d) Gọi $S(x_0;y_0)\in \left(C\right)$. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại S là:

$y=-\frac{2}{{(x_0+1)}^2}(x-x_0)+\frac{x_0+3}{x_0+1}=-\frac{2(x-x_0)+(x_0+1)(x_0+3)}{{(x_0+1)}^2}$

Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng tại P và tiệm cận ngang tại Q

Ta có $x_P=-1;y_Q=1\Rightarrow x_Q=-\frac{1}{2}[{(x_0+1)}^2-(x_0+1\left)\right(x_0+3\left)\right]+x_0=2x_0+1$

Do đó: . Vậy S là trung điểm của PQ.