Ôn tập chương I
Hướng dẫn giải Bài 11 (Trang 46 SGK Toán Giải tích 12)
<p>a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac></math></p>
<p>b) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>m</mi></math> luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt M và N</p>
<p>c) Xác định M sao cho độ dài MN là nhỏ nhất</p>
<p>d) Tiếp tuyến tại một điểm S bất kì của (C) cắt hai tiệm cận của (C) tại (P) và (Q). Chứng minh rằng S là trung điểm của PQ.</p>
<p><strong>Giải</strong></p>
<p>a) Tập xác định <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>D</mi><mo>=</mo><mi mathvariant="normal">ℝ</mi><mo>\</mo><mfenced open="{" close="}"><mrow><mo>-</mo><mn>1</mn></mrow></mfenced></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>'</mo><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mn>2</mn><mrow><msup><mrow><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo> </mo></mrow></mfrac><mo><</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mo> </mo><mo>∀</mo><mi>x</mi><mo>≠</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>-</mo><msup><mn>1</mn><mo>+</mo></msup></mrow></munder><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>+</mo><mo>∞</mo><mo>;</mo><mo> </mo><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>-</mo><msup><mn>1</mn><mo>-</mo></msup></mrow></munder><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mo>∞</mo></math> nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn></math> là tiệm cận đứng</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><munder><mi>lim</mi><mrow><mi>x</mi><mo>→</mo><mo>±</mo><mo>∞</mo></mrow></munder><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math> nên <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></math>là tiệm cận ngang</p>
<p>Bảng biến thiên</p>
<p><img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/17022022/6-hoT2NS.png" /></p>
<p>Đồ thị hàm số:</p>
<p><img class="wscnph" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/17022022/7-VWMDrn.png" /></p>
<p>b) Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><mi>x</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mn>2</mn><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>m</mi><mo> </mo><mo>⇔</mo><mn>2</mn><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>(</mo><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>=</mo><mn>0</mn><mo> </mo><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo> </mo><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>≠</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></math></p>
<p>Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∆</mo><mo>=</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>8</mn><mo>(</mo><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>6</mn><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>25</mn><mo>=</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>16</mn><mo>></mo><mn>0</mn><mo>,</mo><mo> </mo><mo>∀</mo><mi>m</mi></math></p>
<p>Vậy d luôn cắt (C) tại hai điểm M và N có hoành độ <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>;</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub></math> thỏa:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>12</mn><mo>;</mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>32</mn></math></p>
<p>c) Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mi>P</mi></msub><mo>+</mo><msub><mi>x</mi><mi>Q</mi></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><msub><mi>x</mi><mi>S</mi></msub></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>M</mi><msup><mi>N</mi><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><msup><mrow><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>2</mn><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>-</mo><mi>m</mi><mo>)</mo></mrow><mrow><mn>2</mn><mo> </mo></mrow></msup><mo> </mo><mo> </mo><mo> </mo></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mn>5</mn><msup><mrow><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>-</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>=</mo><mn>5</mn><mfenced open="[" close="]"><mrow><msup><mfenced><mrow><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub></mrow></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>4</mn><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub></mrow></mfenced><mo>=</mo><mn>5</mn><mfenced open="[" close="]"><mrow><msup><mfenced><mfrac><mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac></mfenced><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>2</mn><mo>(</mo><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow></mfenced></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>(</mo><msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mn>6</mn><mi>m</mi><mo>+</mo><mn>25</mn><mo>)</mo><mo>=</mo><mfrac><mn>5</mn><mn>4</mn></mfrac><mo>[</mo><msup><mrow><mo>(</mo><mi>m</mi><mo>-</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mn>16</mn><mo>]</mo><mo>≥</mo><mn>20</mn></math></p>
<p>Đẳng thức xảy ra khi m=3 và min MN=25</p>
<p>d) Gọi <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>;</mo><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub><mo>)</mo><mo>∈</mo><mo>(</mo><mi>C</mi><mo>)</mo></math>. Phương trình tiếp tuyến của (C) tại S là:</p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>y</mi><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mn>2</mn><msup><mrow><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup></mfrac><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>)</mo><mo>+</mo><mfrac><mrow><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><mn>3</mn></mrow><mrow><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></mfrac><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>-</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>)</mo><mo>+</mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow><msup><mrow><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup></mfrac><mspace linebreak="newline"/></math></p>
<p>Tiếp tuyến này cắt tiệm cận đứng tại P và tiệm cận ngang tại Q</p>
<p>Ta có <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mi>P</mi></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><mn>1</mn><mo>;</mo><msub><mi>y</mi><mi>Q</mi></msub><mo>=</mo><mn>1</mn><mo>⇒</mo><msub><mi>x</mi><mi>Q</mi></msub><mo>=</mo><mo>-</mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo>[</mo><msup><mrow><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo>-</mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mrow><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><mn>3</mn><mo>)</mo><mo>]</mo><mo>+</mo><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mn>2</mn><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><mn>1</mn></math></p>
<p>Do đó: . Vậy S là trung điểm của PQ.</p>
Hướng dẫn Giải Bài 11 (trang 46, SGK Toán Giải tích 12)
GV: 
GV colearn
GV colearn
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
Hướng dẫn giải Bài 1 (Trang 45 SGK Toán Giải tích 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 2 (Trang 45 SGK Toán Giải tích 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 3 (Trang 45 SGK Toán Giải tích 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 4 (Trang 45 SGK Toán Giải tích 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 5 (Trang 45 SGK Toán Giải tích 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 6 (Trang 45 SGK Toán Giải tích 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 7 (Trang 45-46 SGK Toán Giải tích 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 8 (Trang 46 SGK Toán Giải tích 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 9 (Trang 46 SGK Toán Giải tích 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 10 (Trang 46 SGK Toán Giải tích 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài 12 (Trang 47 SGK Toán Giải tích 12)
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài tập trắc nghiệm 1 (Trang 47 SGK Giải tích 12 )
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài tập trắc nghiệm 2 (Trang 47 SGK Giải tích 12 )
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài tập trắc nghiệm 3 (Trang 47 SGK Giải tích 12 )
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài tập trắc nghiệm 4 (Trang 47 SGK Giải tích 12 )
Xem lời giải
Hướng dẫn giải Bài tập trắc nghiệm 5 (Trang 47 SGK Giải tích 12 )
Xem lời giải
Video hướng dẫn giải bài tập
Hướng dẫn Giải Bài 11 (trang 46, SGK Toán Giải tích 12)
GV: GV colearn
GV colearn