Câu hỏi:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số $f\left(x\right)=-x^3+3x^2+9x+2$.

b) Giải bất phương trình $f\text{'}(x-1)>0$.

c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x_0$, biết rằng $f"\left(x_0\right)=-6$

Hướng dẫn Giải:

a) Tập xác định: $D=\mathrm{ℝ}$

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=-3x^2+6x+9=-3(x^2-2x-3) \\ f\text{'}\left(x\right)=0 \iff [\begin{array}{c}x=-1 \left(f\right(-1)=-3)\\ x=3 \left(f\right(3)=29) \end{array} \end{gathered}$$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=+\infty ; \underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) Ta có:  $$\begin{gathered} f\text{'}(x-1)=-3{(x-1)}^2+6(x-1)+9=-3x^2+12x; \\ f\text{'}(x-1)>0 \iff 0<x<4 \end{gathered}$$

Vậy S=(0;4)

c) $f\text{'}\left(x\right)=-3x^2+6x+9, f"\left(x\right)=-6x+6, f"\left(x_0\right)=-6 \iff -6x_0+6=-6\iff x_0=2$.

Ta có: $f\left(2\right)=24; f\text{'}\left(2\right)=9$

Vậy phương trình tiếp tuyến tại $x_0=0$ là $y=9(x-2)+24$ hay $y=9x+6.$