Câu hỏi:

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số $y=x^3+3x^2+1$.

b) Dựa vào đồ thị (C), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo m: $x^3+3x^2+1=\frac{m}{2}.$

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị (C).

Hướng dẫn Giải:

a) Tập xác định: $D=\mathrm{ℝ}$

$$\begin{gathered} y\text{'}=3x^2+6x=3x(x+2) \\ y\text{'}=0 \iff [\begin{array}{c}x=0 (y=1)\\ x=2 (y=5)\end{array} \\ \underset{x\to -\infty }{\lim }y= -\infty ; \underset{x\to +\infty }{\lim }y= +\infty \end{gathered}$$

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) Số nghiệm của phương trình $x^3+3x^2+1=\frac{m}{2}$ là số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng

(d) có phương trình $y=\frac{m}{2}$

Dựa vào đồ thị ta có:

i) $\frac{m}{2}<1$ hoặc $\frac{m}{2}>5$ $\iff m<2$ hoặc  $m>10$: phương trình có 1 nghiệm

ii) $\frac{m}{2}=1$ hoặc $\frac{m}{2}=5 \iff m=2$ hoặc $m=10$: phương trình có 2 nghiệm

iii) $1<\frac{m}{2}<5\iff 2<m<10:$phương trình có 3 nghiệm

c) Điểm cực đại $A(-2;5),$điểm cực tiểu $B(0;1)$. Đường thẳng qua A,B có phương trình là:

$\frac{y-y_B}{y_A-y_B}=\frac{x-x_B}{x_A-x_B};\frac{y-1}{4}=\frac{x}{-2}\iff y=-2x+1$