Cho hàm số $y=-x^4+2m{x}^2-2m+1$ (m là tham số)

có đồ thị là $\left(C_m\right)$

a) Biện luận theo m có số cực trị của hàm số

b) Với giá trị nào của m thì $\left(C_m\right)$ cắt trục hoành

c) Xác định m để $\left(C_m\right)$ có cực đại, cực tiểu.

Giải

a) Ta có $y\text{'}=-4x^3+4mx=-4x(x^2-m)$

$m\le 0:$ Hàm số có một cực đại (tại $x=0)$

$m>0$: Hàm số có hai cực đại (tại $x=\pm \sqrt{m}$) và một cực tiểu (tại $x=0$)

b) Phương trình $-x^4+2m{x}^2-2m+1=0$ luôn có nghiệm $x=\pm 1$ với $\forall m$ nên $\left(C_m\right)$ luôn cắt trục hoành.

c) Ta có $y\text{'}=-4x(x^2-m)$

$\left(C_m\right)$ có cực đại, cực tiểu khi và chỉ khi $m>0$