a)Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

$f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^4-3x^2+\frac{3}{2}.$

b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ là nghiệm của phương trình f"(x)=0

c) Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình $x^4-6x^2+3=m$.

Giải 

a) Tập xác định: $D=\mathrm{ℝ}$

$$\begin{gathered} y\text{'}=2x^3-6x=2x(x^2-3) \\ y\text{'}=0 \iff {[}_{x=\pm \sqrt{3} \left(f\right(\pm \sqrt{3})=-3)}^{x=0 \left(f\right(0)=\frac{3}{2})} \end{gathered}$$

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

b) Ta có $$\begin{gathered} f"\left(x\right)=6x^2-6; f"\left(x\right)=0 \iff x=\pm 1 \\ f(\pm 1)=-1; f\text{'}(-1)=4; f\text{'}\left(1\right)=-4 \end{gathered}$$

Tiếp tuyến tại điểm $(1;-1)$ có phương trình là $y=-4x+3$

Tiếp tuyến tại điểm $(-1;-1)$  có phương trình là $y=4x+3$   

c) $x^4-6x^2+3=m \iff \frac{1}{2}{x}^4-3x^2+\frac{3}{2}=\frac{m}{2}$

Số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị các hàm số:

$y=\frac{1}{2}{x}^4-3x^2+\frac{3}{2}$ và $y=\frac{m}{2}$

Từ đó ta có:

$\frac{m}{2}<-3 \iff m<-6$: phương trình vô nghiệm

$\frac{m}{2}=-3\iff m=-6$: phương trình có 2 nghiệm

$-3<\frac{m}{2}<\frac{3}{2} \iff -6<m<3:$phương trình có 4 nghiệm

$\frac{m}{2}=\frac{3}{2}\iff m=3:$ phương trình có 3 nghiệm

$\frac{m}{2}>\frac{3}{2}\iff m>3:$ phương trình có 2 nghiệm