Câu hỏi: Cho hàm số 

$f\left(x\right)=x^3-3m{x}^2+3(2m-1)x+1$ (m là tham số)

a) Xác định m để hàm sô đồng biến trên tập xác định.

b) Với giá trị nào của tham số m, hàm số có một cực đại và một cực tiểu.

c) Xác định m để f"(x)>6x.

Hướng dẫn Giải:

a) Tập xác định: $D=\mathrm{ℝ}$

$y\text{'}=3x^2-6mx+3(2m-1)=3(x^2-2mx+2m-1)$

Hàm số đồng biến trên $\mathrm{ℝ} \iff y\text{'}\ge 0, \forall x\in \mathrm{ℝ}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=1>0\\ ∆\text{'}\le 0\end{array}\right.\iff m^2-2m+1\le 0 \iff {(m-1)}^2\le 0\iff m=1$

b) Hàm số có một cực đại và một cực tiểu khi và chỉ khi $y\text{'}=0$ có hai nghiệm phân biệt $\iff ∆\text{'}={(m-1)}^2>0 \iff m\ne 1$

c) Ta có    

$$\begin{gathered} f\text{'}\left(x\right)=3x^2-6mx+3(2m-1) \\ f"\left(x\right)=6x-6m \\ f"\left(x\right)>6x \iff 6x-6m>6x\iff m<0 \end{gathered}$$