Bài 17. Dấu của tam thức bậc hai
Hướng dẫn Giải Bài 6.19 (Trang 24 SGK Toán 10, Bộ Kết nối tri thức, Tập 2)
<p><strong>Bài 6.19 (Trang 24 SGK Toán 10, Bộ Kết nối tri thức, Tập 2)</strong></p>
<p>Xét đường tròn đường kính AB=4 và một điểm M di chuyển trên đoạn AB, đặt AM=x (H.6.19). Xét hai đường tròn đường kính AM và MB. Kí hiệu S(x) là diện tích phần hình phằng nằm trong hình tròn lớn và nằm ngoài hai hình tròn nhỏ. Xác định các giá trị của x để diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ<br /><br /><img class="wscnph" style="max-width: 100%; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/19102022/51-vVc4h2.png" width="249" height="298" /></p>
<p> </p>
<p><em><span style="text-decoration: underline;"><strong>Hướng dẫn giải</strong></span></em></p>
<p>Vì AM = x nên x > 0, lại có AM < AB nên x < 4, vậy điều kiện của x là 0 < x < 4. </p>
<p>Đường tròn lớn có đường kính AB = 4 nên bán kính của hình tròn này là R = 2. </p>
<p>Diện tích hình tròn lớn này là S<sub>R</sub> = πR<sup>2</sup> = π . 2<sup>2</sup> = 4π. </p>
<p>Đường tròn nhỏ đường kính AM = x có bán kính là: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>r</mi><mn>1</mn></msub><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mi>x</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo></math></p>
<p>Diện tích hình tròn nhỏ có bán kính r<sub>1</sub> là S<sub>1</sub> = πr<sub>1</sub><sup>2</sup> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi mathvariant="normal">π</mi><msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mi mathvariant="normal">x</mi><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><msup><mi mathvariant="normal">x</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mo>.</mo></math></p>
<p> </p>
<p>Ta có: AM + MB = AB ⇒ MB = AB – AM = 4 – x. </p>
<p>Đường tròn đường kính MB có bán kính là r<sub>2 = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mn>4</mn><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>.</mo></math></sub></p>
<p>Diện tích hình tròn có bán kính r<sub>2</sub> là S<sub>2</sub> = πr<sub>2</sub><sup>2</sup> <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>=</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">π</mi><mo> </mo><mo>.</mo><mo> </mo><msup><mrow><mo>(</mo><mfrac><mrow><mn>4</mn><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">x</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><msup><mrow><mo>(</mo><mn>4</mn><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi></math></p>
<p>Tổng diện tích hai hình tròn nhỏ là: </p>
<p>S<sub>12</sub> = S<sub>1</sub> + S<sub>2</sub> = <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo> </mo><mfrac><msup><mi mathvariant="normal">x</mi><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mfrac><msup><mrow><mo>(</mo><mn>4</mn><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mi mathvariant="normal">x</mi><mo>)</mo></mrow><mn>2</mn></msup><mn>4</mn></mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mi mathvariant="normal">x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>8</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi></math>.</p>
<p> </p>
<p>Vì diện tích S(x) không vượt quá một nửa tổng diện tích hai hình tròn nhỏ hay diện tích S(x) nhỏ hơn hoặc bằng nửa tổng diện tích hia hình tròn nhỏ hay <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>S</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo><mo> </mo><mo>≤</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><msub><mi>S</mi><mn>12</mn></msub></math></p>
<p>Khi đó: <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mfrac><mrow><mo>-</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi><mo> </mo><mo>≤</mo><mo> </mo><mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac><mo> </mo><mo>.</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mi mathvariant="normal">x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>8</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac><mi mathvariant="normal">π</mi></math></p>
<p><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>⇔</mo><mo> </mo><mo>-</mo><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mi>x</mi><mo> </mo><mo>≤</mo><mo> </mo><mo> </mo><mfrac><mrow><msup><mi mathvariant="normal">x</mi><mn>2</mn></msup><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mi mathvariant="normal">x</mi><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>8</mn></mrow><mn>2</mn></mfrac></math></p>
<p>⇔ – 2x<sup>2</sup> + 8x ≤ x<sup>2</sup> – 4x + 8 </p>
<p>⇔ 3x<sup>2</sup> – 12x + 8 ≥ 0</p>
<p>Xét tam thức f(x) = 3x<sup>2</sup> – 12x + 8 có ∆' = (– 6)<sup>2</sup> – 3 . 8 = 12 > 0 nên f(x) có hai nghiệm <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mn>6</mn><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><msqrt><mn>12</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mn>6</mn><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo> </mo><mi>v</mi><mi>à</mi><mo> </mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo> </mo><mo>=</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mn>6</mn><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac></math></p>
<p>Mặt khác hệ số a = 3 > 0, do đó ta có bảng xét dấu f(x): </p>
<p><img class="wscnph" style="max-width: 100%; display: block; margin-left: auto; margin-right: auto;" src="https://static.colearn.vn:8413/v1.0/upload/library/19102022/bai-6-19-trand-24-toan-lop-10-tap-2-2-ktBREF.png" /></p>
<p>Do đó f(x) ≥ 0 với <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mo>∀</mo><mi>x</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mo>(</mo><mo>-</mo><mo>∞</mo><mo>;</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mn>6</mn><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>]</mo><mo> </mo><mo>∪</mo><mo> </mo><mo>[</mo><mfrac><mrow><mn>6</mn><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>;</mo><mo> </mo><mo>+</mo><mo>∞</mo><mo>)</mo></math></p>
<p>Kết hợp với điều kiện 0 < x < 4. </p>
<p>Vậy các giá trị của x thỏa mãn yêu cầu của đề bài là <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mi>x</mi><mo> </mo><mo>∈</mo><mo> </mo><mo>(</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mo> </mo><mfrac><mrow><mn>6</mn><mo> </mo><mo>-</mo><mo> </mo><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>]</mo><mo> </mo><mo>∪</mo><mo> </mo><mo>[</mo><mfrac><mrow><mn>6</mn><mo> </mo><mo>+</mo><mo> </mo><mn>2</mn><msqrt><mn>3</mn></msqrt></mrow><mn>3</mn></mfrac><mo>;</mo><mo> </mo><mn>4</mn><mo>)</mo></math></p>
<p> </p>
<p> </p>
Xem lời giải bài tập khác cùng bài
Lý thuyết Dấu của tam thức bậc hai
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Hoạt động 1, 2 (Trang 19 SGK Toán 10, Bộ Kết nối tri thức, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Luyện tập 1 (Trang 19 SGK Toán 10, Bộ Kết nối tri thức, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Hoạt động 3, 4 (Trang 20 SGK Toán 10, Bộ Kết nối tri thức, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Hoạt động 5 (Trang 22 SGK Toán 10, Bộ Kết nối tri thức, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Luyện tập 2 (Trang 22 SGK Toán 10, Bộ Kết nối tri thức, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Luyện tập 3 (Trang 23 SGK Toán 10, Bộ Kết nối tri thức, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Vận dụng (Trang 23 SGK Toán 10, Bộ Kết nối tri thức, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Bài 6.15 (Trang 24 SGK Toán 10, Bộ Kết nối tri thức, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Bài 6.16 (Trang 24 SGK Toán 10, Bộ Kết nối tri thức, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Bài 6.17 (Trang 24 SGK Toán 10, Bộ Kết nối tri thức, Tập 2)
Xem lời giải
Hướng dẫn Giải Bài 6.18 (Trang 24 SGK Toán 10, Bộ Kết nối tri thức, Tập 2)
Xem lời giải