Bài 6.16 (Trang 24 SGK Toán 10, Bộ Kết nối tri thức, Tập 2)

Giải các bất phương trình bậc hai: 

a) x² – 1 ≥ 0; 

b) x² – 2x – 1 < 0; 

c) – 3x² + 12x + 1 ≤ 0; 

d) 5x² + x + 1 ≥ 0. 

Hướng dẫn giải

a) Tam thức f(x) = x² – 1 có ∆ = 0² – 4 . 1 . (– 1) = 4 > 0 nên f(x) có hai nghiệm x₁ = – 1 và x₂ = 1. 

Mặt khác hệ số a = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau: 

Tập nghiệm của bất phương trình là $S = (– \infty ; – 1] \cup [1; + \infty )$. 

b) Tam thức f(x) = x² – 2x – 1 có ∆' = (– 1)² – 1 . (– 1) = 2 > 0 nên f(x) có hai nghiệm $x_1 = 1 - \sqrt{2} và x_2 = 1 + \sqrt{2}$.

Mặt khác hệ số a = 1 > 0, do đó ta có bảng xét dấu sau: 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(1 - \sqrt{2}; 1 + \sqrt{2})$

c) Tam thức f(x) = – 3x² + 12x + 1 có ∆' = 6² – (– 3) . 1 = 39 > 0 nên f(x) có hai nghiệm $x_1 = \frac{6 - \sqrt{39}}{3} và x_2 = \frac{6 + \sqrt{39}}{3}.$

Mặt khác hệ số a = – 3 < 0, do đó ta có bảng xét dấu sau: 

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $(-\infty ;\frac{6 - \sqrt{39}}{3}] \cup \left[\frac{6 + \sqrt{39}}{3}\right).$

d) Tam thức f(x) = 5x² + x + 1 có ∆ = 1² – 4 . 5 . 1 = – 19 < 0 và hệ số a = 5 > 0 nên f(x) luôn dương (cùng dấu a) với  $\forall x \in \mathrm{ℝ}$.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là $\mathrm{ℝ}$.