Thử thách nhỏ (Trang 81, SGK Toán 7, Bộ Kết nối tri thức với cuộc sống, Tập 1):

Một tam giác có gì đặc biệt nếu thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

a) Tam giác có ba góc bằng nhau

b) Tam giác cân có một góc bằng $60°$

Hướng dẫn giải:

Xét tam giác ABC có:

$\hat{A}=\hat{B}$ nên tam giác ABC cân tại C

Do đó, BC = AC     (1)

Xét tam giác ABC có $\hat{B}=\hat{C}$ nên tam giác ABC cân tại A

Do đó, AB = AC     (2)

Từ (1) và (2) có AB = AC = BC 

Lại có : $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}$ nên tam giác ABC là tam giác đều

Vậy tam giác có ba góc bằng nhau là tam giác đều.

b)

Trường hợp 1:

Xét góc $60°$ ở đỉnh

Tam giác ABC cân tại A nên $\hat{B}=\hat{C}$

Do đó, $\hat{B}+\hat{C}=2\hat{B}$

Xét tam giác ABC có:

$\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$

Do đó: $2\hat{B}=180°-\hat{A}=180°-60°=120°$

$Do đó : \hat{B}=\hat{C}=60°$

Tam giác ABC có:

$\hat{A}=\hat{B}=60°$

Nên tam giác ABC cân tại C:

Do đó, AC = BC.

Mà AB = AC nên AB = BC = AC.

Lại có : $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}$ nên tam giác ABC là tam giác đều.

Trường hợp 2: Xét góc $60°$ nằm ở đáy

Tam giác ABC cân tại A nên $\hat{B}=\hat{C}$

Do $\hat{C}=60°$

Xét tam giác ABC có: $\hat{A}+\hat{B}+\hat{C}=180°$

Do đó: $\hat{A}=180°-60°-60°=60°$

Tam giác ABC  có $\hat{A}=\hat{B}$ nên tam giác ABC cân tại C.

Do đó, AC = BC 

Mà AB = AC nên AB = AC = BC

Lại có $\hat{A}=\hat{B}=\hat{C}$ nên tam giác ABC là tam giác đều.

Từ hai trường hợp trên ta thấy tam giác cân có một góc bằng $60°$ là tam giác đều.